四面体内切球切点分所在面的面积比

hejoseph

假设四面体 ABCD 的各棱、各面面积已知，内切球切面 BCD 于点 P，求三角形 PBC、PCD、PDB 的面积比。
对于三角形，顶点与内切圆-对边切点的连线是三线共点的（格尔冈点），到四面体，似乎不存在一般的格尔冈点了。

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有一个很漂亮的结论：四面体的顶点与对面内切圆切点的连线这四条直线共点的充要条件是四个切点都是所在面的费马点。下面链接里有论述：
https://www.researchgate.net/pub ... er_of_a_tetrahedron

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面积比的结果：设点 $A$ 所对的面的面积为 $S_A$，棱 $AB$ 的二面角为 $\theta_{AB}$，以此类推，那么 $\triangle PBC$、$\triangle PBD$、$\triangle PCD$ 的面积比为 $S_D(1+\cos\theta_{BC}):S_C(1+\cos\theta_{BD}):S_B(1+\cos\theta_{CD})$。