随机递推数列的行为

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如果数列{a(n)}的前两项是a(1)=0、a(2)=1，从第3项开始就不确定了，当n>2时，a(n)有p的概率是a(n-1)+a(n-2)，还有(1-p)的概率是abs(a(n-1)-a(n-2))。我想知道当p小于多少时，a(n)会无限多次回到0；当p大于多少时，a(n)有限多次回到0之后，就再也回不到0了？

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这个问题AI已经帮我解决了大部分了，对话内容如下：

问：如果数列{a(n)}的前两项是a(1)=0、a(2)=1，从第3项开始就不确定了，当n>2时，a(n)有50%的概率是a(n-1)+a(n-2)，还有50%的概率是abs(a(n-1)-a(n-2))。我想知道当n很大的时候，a(n)更有可能是一个很小的数（如log(n)），还是更有可能是一个很大的数（如1.1^n）？

答：这个问题涉及到随机递归数列的行为，特别是当递归关系有两种可能时（加法或绝对值差）。为了分析这个问题，我们可以从几个不同的角度入手。
首先，我们注意到数列的初始两项是 a(1)=0 和 a(2)=1。从第三项开始，数列的每一项都有50%的概率是前两项的和，也有50%的概率是前两项之差的绝对值。
要判断当 n 很大时，a(n) 更可能是一个很小的数（如 log(n)）还是一个很大的数（如 1.1^n），我们需要考虑数列的增长趋势和可能的波动。
增长趋势：
如果数列经常选择加法（a(n)=a(n−1)+a(n−2) ），那么数列可能会快速增长，因为这是一个斐波那契数列的变种，其增长是指数级的。
如果数列经常选择绝对值差（a(n)=∣a(n−1)−a(n−2)∣），那么数列的增长可能会受到抑制，因为差值可能会很小，甚至在某些情况下导致数列值减小。
波动性分析：
由于每一步都有50%的不确定性，数列的波动会非常大。即使数列在某个阶段快速增长，也可能在下一阶段因为连续选择绝对值差而迅速减小。
这种波动使得预测数列的长期行为变得非常困难。
log(n) 和 1.1^n 的比较：
log(n) 是一个增长非常缓慢的函数，当 n 很大时，它的值相对于 n 来说非常小。
1.1^n 是一个增长较快的函数，即使基数只比1大一点点，但由于是指数增长，当 n 很大时，它的值会非常大。
由于数列的波动性和不确定性，很难直接将其与这两个函数进行比较。但是，考虑到数列有50%的概率选择加法（可能导致快速增长），我们可以推测，在长期内，数列的值更有可能接近或超过 1.1^n，而不是 log(n)。
综上所述，当 n 很大时，数列 a(n) 更有可能是一个很大的数（如 1.1^n），而不是一个很小的数（如 log(n)）。但是，由于数列的随机性和波动性，这种判断并不是绝对的，只是一种基于概率和增长趋势的推测

追问：我想通过编写程序的方法去看看n很大时（如n=10000）a(n)的分布，这个程序该怎么编写呢？

答：要编写一个程序来模拟并观察当 n 很大时（如 n=10000）数列 a(n) 的分布，你可以使用随机性来模拟每一步的选择（加法或绝对值差）。以下是一个简单的 Python 程序示例，它模拟了数列的生成并记录了 a(n) 的值：

1. import random  
   
2.   
   
3. def simulate_sequence(n):  
   
4.     # 初始化数列的前两项  
   
5.     sequence = [0, 1]  
   
6.       
   
7.     # 模拟后续的数列项  
   
8.     for i in range(2, n):  
   
9.         # 以50%的概率选择加法或绝对值差  
   
10.         if random.random() < 0.5:  
    
11.             sequence.append(sequence[i-1] + sequence[i-2])  
    
12.         else:  
    
13.             sequence.append(abs(sequence[i-1] - sequence[i-2]))  
    
14.       
    
15.     # 返回数列  
    
16.     return sequence  
    
17.   
    
18. # 设定n的值  
    
19. n = 10000  
    
20.   
    
21. # 模拟数列  
    
22. sequence = simulate_sequence(n)  
    
23.   
    
24. # 打印数列的最后几个值来观察趋势（或者你可以选择其他方式来分析数据）  
    
25. print(sequence[-10:])  # 打印最后10个值  
    
26.   
    
27. # 如果你想分析整个数列的分布，可以将其存储到文件中或进行统计分析  
    
28. # 例如，统计不同数值范围的出现次数  
    
29. distribution = {}  
    
30. for value in sequence:  
    
31.     if value < 10:  
    
32.         key = '0-9'  
    
33.     elif value < 100:  
    
34.         key = '10-99'  
    
35.     elif value < 1000:  
    
36.         key = '100-999'  
    
37.     # ... 你可以继续添加更多范围  
    
38.     else:  
    
39.         key = '1000+'  
    
40.     distribution[key] = distribution.get(key, 0) + 1  
    
41.   
    
42. # 打印分布  
    
43. for key, count in distribution.items():  
    
44.     print(f"Values in range {key}: {count}")  
    
45.   
    
46. # 注意：由于随机性，每次运行程序得到的分布可能都会不同

复制代码

这个程序定义了一个 simulate_sequence 函数，它使用随机性来模拟数列的生成。然后，它调用这个函数来生成一个包含 n 个元素的数列，并打印出最后几个值来观察趋势。最后，它还计算了一个简单的分布，将数列中的值分组到不同的范围，并打印出每个范围中的值出现的次数。
请注意，由于随机性，每次运行程序时得到的数列和分布可能都会不同。为了获得更可靠的结果，你可能需要多次运行程序并平均结果，或者运行程序并使用更复杂的统计分析方法。

追问：我加了一些范围，运行结果如下：
Values in range 0-9: 19
Values in range 10-99: 18
Values in range 100-999: 38
Values in range 1000-9999: 33
Values in range 10000-99999: 12
Values in range 100000-999999: 12
Values in range 1000000+: 9868
这个结果是什么意思呢？这个结果和你最初的判断一致吗？

答：这个结果给出了数列 a(n) 在不同数值范围内的出现频率。根据你给出的数据，我们可以看到数列中大部分值（9868次）出现在 1000000+ 这个范围内，这意味着当 n 较大时（在你的例子中 n=10000），数列的值更有可能是一个很大的数。
这个结果与我最初的判断是一致的，即由于数列有一半的概率选择加法（这可能导致指数级增长），数列在长期内更有可能接近或超过快速增长的函数（如 1.1^n），而不是增长缓慢的函数（如 log(n)）。
然而，需要注意的是，由于这是基于随机模拟的结果，每次运行程序都可能会得到不同的分布。但是，如果多次运行并平均结果，或者运行足够多次以确保统计上的稳定性，你应该会发现类似的趋势，即数列的值倾向于在较大的数值范围内。
此外，你的结果还显示了数列中存在一些较小的值，但这可能是由于数列中的随机性导致的短期波动或周期性行为。在长期内，这些较小的值不太可能是数列的典型行为，因为数列有一半的概率通过加法来增加其值。
综上所述，你的模拟结果支持了我最初的判断，即当 n 很大时，数列 a(n) 更有可能是一个很大的数。

追问：如果选择减法的概率大一些，这个数列可能就是另一种行为了（n很大时趋近于log(n)）。有没有可能编写程序，求出选择减法的概率达到多少时，这个数列在n很大时趋近于log(n)？

答：要确定选择减法的概率达到多少时，数列在 n 很大时趋近于 log(n)，是一个相当复杂的问题，因为它涉及到随机过程的长时间行为，通常没有简单的解析解。然而，你可以通过模拟和统计分析来尝试找到这个概率的大致范围。
首先，你需要明确“趋近于 log(n)”的定义。这通常意味着数列的增长率应该与 log(n) 相当，或者数列的值在长时间内应该紧密围绕某个与 log(n) 成比例的函数。
以下是一个可能的策略来估计这个概率：
编写模拟程序：编写一个程序，该程序接受一个参数 p（选择减法的概率），并模拟数列的生成，直到 n 变得很大（比如 n=100000 或更大）。
收集数据：在每次模拟中，收集数列的最后几个值（比如最后100个值），并计算这些值的对数（如果值很小，可以直接使用；如果值很大，可能需要对数变换后分析）。
统计分析：分析收集到的数据，看它们是否趋近于 log(n)。你可以通过计算数列的对数值与 log(n) 的相关性、计算均方误差（MSE）或其他统计指标来评估趋近程度。
迭代和调整：通过迭代不同的 p 值，并重复上述步骤，你可以找到使数列趋近于 log(n) 的 p 值范围。
注意随机性：由于这是随机过程，每次模拟的结果可能会有所不同。因此，你可能需要多次运行模拟（对于每个 p 值），并取平均值或中位数来得到更可靠的结果。
理论支持（可选）：如果可能的话，你也可以尝试找到这个问题的理论解或近似解。这可能需要深入的数学知识和分析技巧。
请注意，即使你找到了一个使数列趋近于 log(n) 的 p 值范围，这并不意味着数列在任何时候都会严格遵循 log(n) 的增长。它只是表明在长时间内，数列的增长率与 log(n) 相当。此外，由于随机性的影响，即使 p 值在这个范围内，数列的行为也可能会有所不同。

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想要拿到更准确的回答，AI是不指望了，还得问人才行。不知道坛友们能否求出更准确的p的阈值？

mathe

可以试着计算如果当前a(n-1)=i,a(n)=j时，那么➕经过有限步会出现0的概率E(i,j)。
显然这个概率和n无关，于是E(i,j)=p*E(j,i+j)+(1-p)*E(j,|i-j|).
可以开始将E(i,0)初始化为1，其余为0，然后顺序迭代计算多轮看看收敛性

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令选择加法的概率为0.01、0.02、0.03、……、0.50，各模拟10000次

然后统计10000次模拟里面，【a(10000)=0】这个事件发生了多少次（记为s次）

然后用s除以10000，就是【a(10000)=0】这个随机事件发生的概率，记为Pr（a(10000)=0）

统计结果如下图所示：



图中显示，当选择加法的概率大于1/3时，Pr（a(10000)=0）就降至0了

Pr（a(∞)=0）的结果应该是类似的：

当选择加法的概率大于1/3时，我们有 Pr（a(∞)=0）=0，也就是a(n)有限多次回到0之后，就再也回不到0了

当选择加法的概率小于1/3时，我们有 Pr（a(∞)=0）>0，也就是a(n)可以无限多次回到0

不知道当选择加法的概率恰好是临界点1/3的时候，会发生什么事情呢？