等角六边形三组直线共点问题

xiaoshuchong

这个问题受@hujunhua的等边六边形三线共点问题启发。

如下图所示，六边形六个内角均为120度。P1,P2等六个点均为中点。

求证：
1. 三组对边边长差值相等
2. P1P2,Q1Q2,A1A4三线共点。
  同时，另外两组也共点，即P1P2,R1R2,A3A6和R1R2,Q1Q2,A2A5
3. 问题2中的三个点构成正三角形，且边长对边边长差值的一半

PS.    搞半天原来如此简单，平行六边形都有的性质


原问题如下：
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... D%E8%BE%B9%E5%BD%A2

hujunhua

这个平行六边形，还平行于正六边形，太特殊，结论也都十分浅显。不能成为姊妹问题，拒绝攀亲^_^_^_^.

xiaoshuchong

好吧。献丑了

hejoseph

一般平行六边形的三组对边的差可不一定相等的，有这样一个结论：三组对边不全相等的平行六边形各内角相等的充要条件是它的三组对边的差的绝对值相等。
若平行六边形 $ABCDEF$ 中已知 $AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DE=d$，$\angle A=\angle D=\alpha$，$\angle B=\angle E=\beta$，$\angle C=\angle F=\gamma$，则
\[
EF=b+(a-d)\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}，FA=c-(a-d)\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}
\]

另外，平行六边形还有一个关于中点的比较漂亮的结论：平行六边形对边中点的连线共点。

xiaoshuchong

hejoseph 发表于 2024-5-22 08:54
一般平行六边形的三组对边的差可不一定相等的，有这样一个结论：三组对边不全相等的平行六边形各内角相等的 ...

感谢补充。

补充一个对边中点连线共点的图，一共7组三线共点（两条对角线和中点连线共点，见图中的两绿一橙交点）