高等数学讨论

sxyjtd

我们知道(1+n分之一)的n次方当n趋近于无穷大时的极限是e，那么(1+sin n分之一)的n次方当n趋近于无穷大时的极限是否还是e？

王守恩

\(\bigg(1+1/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n=e\)
\(\bigg(1+2/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(2/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(2/n)\bigg)^n=e^2\)
\(\bigg(1+3/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(3/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(3/n)\bigg)^n=e^3\)
\(\bigg(1+4/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(4/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(4/n)\bigg)^n=e^4\)
......
\(\bigg(1-1/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(1/n)\bigg)^n=1/e\)
\(\bigg(1-2/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(2/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(2/n)\bigg)^n=1/e^2\)
\(\bigg(1-3/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(3/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(3/n)\bigg)^n=1/e^3\)
\(\bigg(1-4/n\bigg)^n=\bigg(1-\sin(4/n)\bigg)^n=\bigg(1-\tan(4/n)\bigg)^n=1/e^4\)
......
虽然没有严格的证明，但数据还是靠谱的。

\(\big(\frac{n+1}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+n+1}{2n^2-n+1}\big)^n< e<\big(\frac{2n^2+n-1}{2n^2-n-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-1}\big)^n\)

sxyjtd

王守恩 发表于 2024-5-27 19:54
\(\bigg(1+1/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n=e\)
\(\bigg(1+2/n\bigg)^n= ...

这个数学公式排版很舒服，是怎么打出来的

sxyjtd

王守恩 发表于 2024-5-27 19:54
\(\bigg(1+1/n\bigg)^n=\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n=\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n=e\)
\(\bigg(1+2/n\bigg)^n= ...

本论坛好像无法输入标准的数学公式

王守恩

\(\bigg(1+\sin(1/n)\bigg)^n<\bigg(1+1/n\bigg)^n<\bigg(1+\tan(1/n)\bigg)^n< e\)

张狂一点，教科书应该这样写！

\(\big(\frac{n+1}{n}\big)^n<\big(\frac{\ 2n^2+n+1\ }{2n^2-n+1}\big)^n< e<\big(\frac{\ 2n^2+n-1\ }{2n^2-n-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-1}\big)^n\)

王守恩

蹭一点热度。

\(\D\sum_{k=-\infty}^{\infty}\bigg(\frac{1}{k*\pi+a}\bigg)^2=\bigg(\frac{1}{\sin(a)}\bigg)^2\)

nyy

实在不行，你拿计算器算两下得了