如何用数学定理严谨证明瓜豆原理?

新荒天

如果P是圆O₁上的一个动点，A为定点，连接AP。点Q是相应的动点，角∠PAQ = α，AP/AQ = k。我们平时证明的话就会说: 点Q的轨迹也是一个圆，称为圆O₂。当AP和O₁的半径在同一直线上时，AQ和O₂的半径也会在同一条线上。因此可得∠O₁AO₂ = α，AO₁/AO₂ = k。所以三角形ΔAPO₁和ΔAQO₂相似。

但在这个证明中我有两个问题。第一，虽然我们知道点Q的轨迹是个圆，但我们没有用数学定理来严格证明这一点。用真正的数学该如何证明他真的是个圆呢? 需要用到高中的数学知识吗？第二，在我们证明∠O₁AO₂ = α时，为什么可以说AO₁/AO₂ = k？我的意思是，为什么能说AP/AQ = AO₁/AO₂？这个结论是怎么得来的？这也能用到高中数学来证明吗？

lihpb00

能画个图出来吗？

新荒天

我把我想象的图画出来了