一个完全由 0 和 1 组成的数是否有可能为完全平方数？

uk702

northwolves 发表于 2024-7-9 18:18
发现其他进制下可以有很多，如：

转自 http://kuing.infinityfreeapp.com ... amp;page=1#pid60547 第 5 楼。

5 进制的情形：

注意到 $(x(x(5x-1)(5x+4)+3)^2+1)^2=$
$$
625 x^8 + (625+125) x^7 + 25 x^6 + (25+5) x^5 + (125+25+5+1) x^4 + (5+1) x^3 + x^2 + (5+1) x + 1.
$$

从而对较大的 $x=5^k$,  该完全平方数将只含 $0$ 与 $1$ 的平方式.

uk702

关于问题3，我将它发到 https://math.stackexchange.com/ （英文太烂了就不给链接了），某老师给出了如下的证法，尽管我接受了但总感觉还差点意思：

证：若 n=p，显然 $10^m + 10^n + 10^p + 1$ 是可以为完全平方数，下面讨论仅限于  m>n>p>0 的情况。<br>

1) 如果 p = 1，则显然不会有任何完全平方数以 11 结尾，故这时 $10^m + 10^n + 10^p + 1$  不能为完全平方数。

2) 现在假设 p >= 2，若 $y^2 = 10^m + 10^n + 10^p + 1$ 为完全平方数，则 y 的个位数必须是以 1 或 9 。

a. 若 $y=10x+ 1$，则 $y^2 = 100x^2 + 20x + 1 = 10^m + 10^n + 10^p + 1$，所以 x 必须是 5 的倍数，记 x=5a。

∴ 故必须有 $2500 \ a^2 + 100a + 1 = 10^m + 10^n + 10^p + 1$

∴ 故必须有 $ 25 \ a^2 + a = 10^u + 10^v + 10^w$，其中 u>v>w ≧ 0。
【注：老师说这一行就无法成立，下面是我的补充，试图说明为什么无法成立】

记 $a = 10^k \ b$，其中 b 的个位数不为 0，k >=0，代入，则有 $ (25 \ 10^{2k}) \ b^2 + 10^k \ b = 10^u + 10^v + 10^w$

∴ w ≧ k，故有 $  (25 \ 10^{k})  \ b^2 + b = 10^r + 10^s + 10^t $，其中 r>s>t>=0 。

对上式取 mod 10，∴ 必须有 b =1 (mod 10) 且 t = 0  【注，实际上，如果 k=0，b 还可以 b=5 (mod 10) 】

∴  $  (25 \ 10^{k})  \ b^2 + b = 10^r + 10^s + 1 $

由于 b 以数字 1 结尾，故左边将包含数字 5 或 6 而右边不能，故上式无法成立。
【注：我不确定这个说法一定成立】

b. 若 $y=10x - 1$，则 $y^2 = 100x^2 - 20x + 1 = 10^m + 10^n + 10^p + 1$，可参考 a) 。

uk702

uk702 发表于 2024-7-10 08:20
关于问题3，我将它发到 https://math.stackexchange.com/ （英文太烂了就不给链接了），某老师给出了如下的 ...

关于问题3，我在 https://math.stackexchange.com/q ... ber/4943994#4943994 提交了一个 question.

某位老师给了个解答，但我认为需要作适当补充，我不知道我是不是将问题想复杂了。