n边形2内角为90度, 周长为n, n边形面积最大值

王守恩

已知四边形2内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.00000。
已知五边形2内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.67468。
已知六边形2内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.46113。
已知七边形2内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.37968。
已知八边形2内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.43496。
已知九边形2内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.62859。

按凸模型。

lihpb00

当n>=6时
令90度的两个内角相邻，且这两个内角的边无限接近0，剩下的点共圆且平分圆

王守恩

主帖不是这串数。
已知三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.909348892。

王守恩

已知四边形2内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.0000000。
已知五边形2内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.6746825。
已知六边形2内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.4611317。
已知七边形2内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.3796847。
已知八边形2内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.4349645。
已知九边形2内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.6285893。
......
{1.0000000, 1.6746825, 2.4611317, 3.3796847, 4.4349645, 5.6285893, 6.9612696, 8.4333655, 10.045079, 11.796532, 13.687801, 15.718939, 17.889982, 20.200955, 22.651878, 25.242764, 27.973625, 30.844468}

1. Table[NSolve[{(n - 4) x + 4 y == n, 2 a == Pi/(n - 2), x/Sin[2 a] == R /Cos[a], y/Cos[Pi/4 - a] == R /Sin[Pi/4], ((n - 4) R^2 Sin[2 a] + 4 R*y*Cos[a])/2 == S}, {a, x, y, R, S}], {n, 4, 16}]

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四舍五入后得到这样一串数。
{1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 72, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 112, 118, 123, 129, 136, 142, 148, 155, 161, 168, 175, 182, 189,
197, 204, 212, 220, 227, 235, 244, 252, 260, 269, 278, 287, 296, 305, 314, 324, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 394, 404, 415, 426, 437, 448, 459, 471, 482, 494, 506, 518, 530, 542, 555, 567, 580,
593, 606, 619, 632, 645, 659, 672, 686, 700, 714, 728, 743, 757, 772, 787, 802, 817, 832, 847, 863, 878, 894, 910, 926, 942, 958, 975, 991, 1008, 1025, 1042, 1059, 1076, 1094, 1111, 1129, 1147}

特别地,  OEIS——A134030: 我们这串数=1/2 + 2/Pi=1.13661977236758

OEIS——A134030——是这样一串数——相近的话题——我们这串数不可能超过这串数。
三边形周长为3,  三边形面积最大值=0.433012702。
四边形周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
五边形周长为5,  五边形面积最大值=1.720477400。
六边形周长为6,  六边形面积最大值=2.598076212。
七边形周长为7,  七边形面积最大值=3.633912443。
八边形周长为8,  八边形面积最大值=4.828427124。
九边形周长为9,  九边形面积最大值=6.181824193。
......
[0.433012702, 1.000000000, 1.720477400, 2.598076212, 3.633912443, 4.828427124, 6.181824193, 7.694208842, 9.365639904, 11.19615242],
四舍五入后得到这样一串数——A134030——2024年3月11日——虽然通项公式没我们的好。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 54, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 134, 140, 147, 154, 161, 168,
176, 183, 191, 199, 207, 215, 223, 232, 240, 249, 258, 267, 277, 286, 296, 306, 316, 326, 336, 346, 357, 368, 379, 390, 401, 412, 424, 436, 447, 459, 472, 484, 496, 509,
522, 535, 548, 561, 575, 588, 602, 616, 630, 644, 659, 673, 688, 703, 718, 733, 748, 764, 780, 796, 812, 828, 844, 860, 877, 894, 911, 928, 945, 963, 980, 998, 1016, ...}

1. [code]Table[Round[n*Cot[Pi/n]/4], {n, 3, 112}]

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王守恩

没问题！n边形2内角为90度, 周长为n, n边形面积最大值S。
已知四边形2内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.0000000。
已知五边形2内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.6746825。
已知六边形2内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.4611317。
已知七边形2内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.3796847。
已知八边形2内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.4349645。
已知九边形2内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.6285893。
......
{1.0000000, 1.6746825, 2.4611317, 3.3796847, 4.4349645, 5.6285893, 6.9612696, 8.4333655, 10.045079, 11.796532, 13.687801, 15.718939, 17.889982, 20.200955, 22.651878, 25.242764, 27.973625, 30.844468, 33.855301, 37.006128}

1. Table[NSolve[{(n - 4) x + 4 y == n, 2 a == Pi/(n - 2), x/Sin[2 a] == R /Cos[a], y/Cos[Pi/4 - a] == R /Sin[Pi/4], ((n - 4) R^2 Sin[2 a] + 4 R*y*Cos[a])/2 == S}, {a, x, y, R, S}], {n, 4, 16}]

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1. Table[NSolve[{(n - 4)(2k*Sin[Pi/4] Sin[a]) + 4(k*Cos[Pi/4 - a]) == n, 2 a == Pi/(n - 2), ((n - 4)Sin[Pi/4]^2 Sin[2 a] + 4 Sin[Pi/4] Cos[Pi/4 - a]*Cos[a])k^2/2 == S}, {a, k, S}], {n, 4, 16}]

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四舍五入后得到这样一串数。
{1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 72, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 112, 118, 123, 129, 136, 142, 148, 155, 161, 168, 175, 182, 189,
197, 204, 212, 220, 227, 235, 244, 252, 260, 269, 278, 287, 296, 305, 314, 324, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 394, 404, 415, 426, 437, 448, 459, 471, 482, 494, 506, 518, 530, 542, 555, 567, 580,
593, 606, 619, 632, 645, 659, 672, 686, 700, 714, 728, 743, 757, 772, 787, 802, 817, 832, 847, 863, 878, 894, 910, 926, 942, 958, 975, 991, 1008, 1025, 1042, 1059, 1076, 1094, 1111, 1129, 1147}

1. Table[Round[(n/2 + 1)^2/(n*Tan[Pi/(2 n)] + 2)], {n, 1, 128}]

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特别地,  OEIS——A134030: 我们这串数=1/2 + 2/Pi=1.13661977236758