最小值问题

yigo

已知\(x,y\)满足\(xy(x+y)=1,x>0,y>0\)，

求\(z=m x+n y\)的最小值，其中\(m>0,n>0\)。

求得：

\(z_{min}(m,n)=\frac{n^{\frac{2}{3}}(2m-n+\sqrt{m^2+n^2-mn})}{\sqrt[3]{2m^2+n^2-2mn+(2m-n)\sqrt{m^2+n^2-mn}}}\)，

根据对称性，交换\(m,n\)，\(z\)的最小值不变，验证了下，\(z_{min}(m,n)\)确实满足\(z_{min}(m,n)=z_{min}(n,m)\)。

为啥\(z_{min}(m,n)\)这个式子看起来关于\(m,n\)一点都不对称，还能化简成对称形式吗？

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搞懂了,

令\(k=\frac{m-n+\sqrt{m^2+n^2-mn}}{n}\)，则\(z_{min}(m,n)\)化为\(z_{min}(m,n)=\frac{m+kn}{\sqrt[3]{k(k+1)}}\)，

交换\(m,n\)，则\(k^{'}=\frac{n-m+\sqrt{m^2+n^2-mn}}{m}\)，\(z_{min}(n,m)=\frac{n+k^{'}m}{\sqrt[3]{k^{'}(k^{'}+1)}}\)，

易知\(kk^{'}=1\)，带入\(z_{min}(n,m)=\frac{n+\frac{1}{k}m}{\sqrt[3]{\frac{1}{k}(\frac{1}{k}+1)}}=\frac{m+kn}{\sqrt[3]{k(k+1)}}=z_{min}(m,n)\)，