求一个 n 阶行列式的值 2024 - 10 - 13

TSC999

\(D_n = \begin{vmatrix}  
1+x & x & x & \cdots & x & x \\
x & 2+x & x & \cdots & x & x \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x & x & x & \cdots & x & n+x \end{vmatrix}\)

这个行列式的值为 \(D_n=a x+n!\) ，其中\(a\)  是一个正整数，其值如何求出？
经实际计算知：
\(D_2 = 3x + 2\)
\(D_3 = 11x + 6\)
\(D_4 = 50x + 24\)
\(D_5 = 274x + 120\)
\(D_6 = 1764x + 720\)
\(D_7 = 13068x + 5040\)
\(D_8 = 109584x + 40320\)

mathe

$n!H_n$

nyy

D4中
a=4!*(1/1+1/2+1/3+1/4)=50,根据mathe的意思，应该是这样

nyy

1. n = 8; Sum[1/k, {k, 1, n}]*n!

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得到结果
109584

northwolves

1. Table[{n,Det[Table[x+k*Boole[k==c],{k,n},{c,n}]]},{n,20}]

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1        1+x
2        2+3 x
3        6+11 x
4        24+50 x
5        120+274 x
6        720+1764 x
7        5040+13068 x
8        40320+109584 x
9        362880+1026576 x
10        3628800+10628640 x
11        39916800+120543840 x
12        479001600+1486442880 x
13        6227020800+19802759040 x
14        87178291200+283465647360 x
15        1307674368000+4339163001600 x
16        20922789888000+70734282393600 x
17        355687428096000+1223405590579200 x
18        6402373705728000+22376988058521600 x
19        121645100408832000+431565146817638400 x
20        2432902008176640000+8752948036761600000 x

nyy

northwolves 发表于 2024-10-14 11:48
1        1+x
2        2+3 x
3        6+11 x

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*求出行列式的值*)
   
3. aa=Table[{n,Det[Table[x+k*Boole[k==c],{k,n},{c,n}]]},{n,20}]
   
4. (*求出行列式值的x项的系数*)
   
5. bb=Coefficient[#[[2]],x]&/@aa
   
6. (*求出通项公式函数*)
   
7. cc=FindSequenceFunction[bb,n]//FullSimplify
   

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借你的锅下面

求出结果
行列式的值是
{{1, 1 + x}, {2, 2 + 3 x}, {3, 6 + 11 x}, {4, 24 + 50 x}, {5,
  120 + 274 x}, {6, 720 + 1764 x}, {7, 5040 + 13068 x}, {8,
  40320 + 109584 x}, {9, 362880 + 1026576 x}, {10,
  3628800 + 10628640 x}, {11, 39916800 + 120543840 x}, {12,
  17280 (27720 + 86021 x)}, {13, 17280 (360360 + 1145993 x)}, {14,
  241920 (360360 + 1171733 x)}, {15,
  3628800 (360360 + 1195757 x)}, {16,
  29030400 (720720 + 2436559 x)}, {17,
  29030400 (12252240 + 42142223 x)}, {18,
  1567641600 (4084080 + 14274301 x)}, {19,
  1567641600 (77597520 + 275295799 x)}, {20,
  156764160000 (15519504 + 55835135 x)}}

x的系数是
{1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, \
120543840, 1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600, \
70734282393600, 1223405590579200, 22376988058521600, \
431565146817638400, 8752948036761600000}

通项表达式是n! HarmonicNumber[n]
\[n! H_n\]

mathe

i) 增加一行一列，第一行为1 x x ... x
第一列除了第一行为1，其余都是0，所以行列式值不变。
ii)  每行减去第一行，那么除了第一行，第一列，主对角线后其它元素都是0.
    主对角线全部常数，第一行除了第一格全x,第一列除了第一个全-1
iii） 将第k行 x/(k-1)加到第一行 （k>=2), 矩阵变为对角阵，第一格1+H_n *x