可以证明以下6阶矩阵的秩为 4

zhu_jian_song

\[ \text{Matrix6} = \begin{pmatrix}
0 & C2 & -C1 & C4 & -C3 & 0 \\
0 & C3 & C4 & -C1 & -C2 & 0 \\
C2 & 0 & -C0 & -C5 & 0 & C3 \\
-C3 & 0 & C5 & C0 & 0 & -C2 \\
C1 & -C0 & 0 & 0 & C5 & -C4 \\
C4 &  C5 & 0 & 0 & C0 &  C1 \\
\end{pmatrix}_{6 \times 6 } \]
其中：\(C0,C1,C2,C3,C4,C5\) 为任意常数

mathe

这个题目显然是错误的，首先容易看出所有变量为0时矩阵为O矩阵，秩为0，可以小于4而不等于4.
然后用pari/gp随便选择了个特殊值，发现秩可以取到5

1. (08:29) gp > matrank(M(1,3,7,11,19,21))
   
2. %10 = 5
   
3. (08:29) gp > M(1,3,7,11,19,21)
   
4. %11 =
   
5. [  0  7 -3  19 -11   0]
   
6. 
   
7. [  0 11 19  -3  -7   0]
   
8. 
   
9. [  7  0 -1 -21   0  11]
   
10. 
    
11. [-11  0 21   1   0  -7]
    
12. 
    
13. [  3 -1  0   0  21 -19]
    
14. 
    
15. [ 19 21  0   0   1   3]
    
16. 
    
17. (08:30) gp > M(C0,C1,C2,C3,C4,C5)
    
18. %12 =
    
19. [  0  C2 -C1  C4 -C3   0]
    
20. 
    
21. [  0  C3  C4 -C1 -C2   0]
    
22. 
    
23. [ C2   0 -C0 -C5   0  C3]
    
24. 
    
25. [-C3   0  C5  C0   0 -C2]
    
26. 
    
27. [ C1 -C0   0   0  C5 -C4]
    
28. 
    
29. [ C4  C5   0   0  C0  C1]

复制代码

而计算矩阵行列式可以发现总是0

1. (08:30) gp > M(C0,C1,C2,C3,C4,C5)
   
2. %12 =
   
3. [  0  C2 -C1  C4 -C3   0]
   
4. 
   
5. [  0  C3  C4 -C1 -C2   0]
   
6. 
   
7. [ C2   0 -C0 -C5   0  C3]
   
8. 
   
9. [-C3   0  C5  C0   0 -C2]
   
10. 
    
11. [ C1 -C0   0   0  C5 -C4]
    
12. 
    
13. [ C4  C5   0   0  C0  C1]
    
14. 
    
15. (08:30) gp > matdet(%)
    
16. %13 = 0

复制代码

所以这个矩阵的秩最小为0，最大为5

nyy

穷举法呀！从6行里面取5行，从6列里面取5列，如果得到的5*5的行列式总是等于零，
那么矩阵的rank<=4呀，你再找一个4*4的行列式不等于零，这样不就证明了吗