连续函数f(x)满足sin(f(x+2π))=sin(f(x))，求 f(x)

uk702

连续函数 f(x) 满足 sin(f(x+\(2\pi\)))=sin(f(x))， f(0) = 0 (且 f(x) 不恒为 0)，能否证明  f(x)=x ？

mathe

显然不行。
从题目可以得出，对于任意x,必然有f(x+2pi)-f(x)=2k(x)pi或f(x+2pi)+f(x)=(2k(x)+1)pi.
根据连续性而且k(x)是整数，那么只能在某些区间两函数差或和是常数，但是可以中间进行切换。而切换点必须两者同时满足，对应2f(x+2pi)和2f(x)同时为pi的奇数倍时

uk702

原题是：称 f(x) 是周期为 T 的正弦周期函数，假若对实数域 x ，sin(f(x+T)) = sin(f(x)) 恒成立。现已知周期为 T 的正弦周期函数且严格递增的连续函数 f(x)，满足 f(0) = \( \dfrac{\pi}{2} \)，f(T) = \( \dfrac{9 \pi}{2} \)，且存在 \( 0 < x_0 < T \)，满足 \( f(x_0) \) = \( \dfrac{5 \pi}{2} \)，求 f(2T)。

答案是 \( \dfrac{17 \pi}{2} \)，但我迷糊了，我认为是一切  \( \dfrac{ (17 +2 k) \pi}{2} \)，现在看来原答案应该是对的。

uk702

mathe 发表于 2024-10-26 17:48
显然不行。
从题目可以得出，对于任意x,必然有f(x+2pi)-f(x)=2k(x)pi或f(x+2pi)+f(x)=(2k(x)+1)pi.
根据连 ...

同样，如果要求 f(x) 严格递增，则可以将 f(x) 定义为 \( [0, 2 \pi)  \) 的任意递增函数，并且满足 \( f(2π) = 2k \pi \)，再用 \( f(x+2 \pi) = f(x) + 2k \pi \) 不断延拓即可。

应该也没有其它形式了，因为若有  \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，使得 \( f(x_1+2 \pi) = f(x_1) + 2k_1 \pi \)  及  \( f(x_2 + 2 \pi) = f(x_2) + 2k_2 \pi \)  且 \( k_1 \ne k_2 \)，则中间必然发生跳跃，不会是连续函数。


补充内容 (2024-10-27 12:15):
"应该没有其它形式了...“，这个结论可能经不起考验。

补充内容 (2024-10-27 12:48):
撤回 补充内容 (2024-10-27 12:15)

uk702

由 #4，若 f(x) 是周期为 T 的正弦周期的连续函数，则必然存在常数 k，使得 \( f(x + T) =  f(x) + 2k \pi \) 对一切 x 均成立。

那么回到 #3 的原题，由于 \( f(T) = \dfrac{9 \pi}{2} \)， \( f(0) = \dfrac{\pi}{2} \)，由  \( f(x + T) =  f(x) + 2k \pi \)  求得 k=2。

∴ \( f(2T) = f(T) + 4 \pi = \dfrac{17 \pi}{2} \)

现在，问题来了，求教 @mathe，#3 原题中的条件 “且存在 \( 0 < x_0 < T \)，满足 \( f(x_0) \) = \( \dfrac{5 \pi}{2} \)” 是否多余？

uk702

对于连续函数 f(x)，假若有 \( x_1 \)  和 \( x_2 > x_1 \) ，及正整数 \( k_2 > k_1 \) ，使得 \( f(x_1+T) = f(x_1) + 2k_1 \pi \) 及 \( f(x_2+T) = f(x_2) + 2k_2 \pi \) 且 \( k_2 > k_1 \)

现假设序列 \( x_{21} > x_{22} .... > x_{2n} > ... > x_1 \)，均满足 \(  f(x_{2i}+T) = f(x_{2i}) + 2{k_{2i}} \pi \) 且 \( k_{2i} > k_1 \)，是故序列  \( x_{21} > x_{22} .... > x_{2n} > ...  \) 必有极限 \( x_{2a} \)，由于 f(x) 是连续函数，所以 \( f(x_{{2a}^{+}}) = f(x_{2a}) = f(x_{{2a}^{-}}) \)，但  \( f(x_{{2a}^{+}}+T) 、 f(x_{2a}+T) 、 f(x_{{2a}^{-}} +T) \) 至少有两个互不相同，即发生跳跃，这和 f(x) 是在 \( x_{2a} + T \) 这个点连续相矛盾。

所以，对于连续函数 f(x)，必有常数 k，使得 \( f(x+T) = f(x) + 2k \pi \) 对一切 x 均成立。

uk702

注：  #3 原题中的条件 “且存在  \( 0 < x_0 < T \)，满足  \( f(x_0) = \dfrac{5 \pi}{2} \)” 不仅多余，而且是介值定理（ f(x) 连续，\( f(0) = \dfrac{\pi}{2},  f(T) = \dfrac{9 \pi}{2} \)  ）的必然推论。

mathe

这个函数任何地方满足$f(x+2\pi)=f(x)+2\pi$或$f(x+2\pi)+f(x)=\pi$