图中一共有多少个三角形？

mathe

三角形分两类，尖头朝上的\(\Delta\)和尖头朝下的\(\nabla\).
其中\(\Delta\)比较容易，它的底边在某条横线上，所以底边选择为\(C_2^2+C_3^2+\cdots+C_{n+1}^2=C_{n+2}^3\).
其中\(\nabla\)的数目，边长为1的数目为\(1+2+...+(n-1)=C_n^2\), 边长为2的数目为\(1+2+...+(n-3)=C_{n-2}^2\),...
所以总数为\(C_n^2+C_{n-2}^2+C_{n-4}^2+...\).
然后我们需要分奇偶分别计算，最后得到数目为\(\lfloor\frac{2n^3+3n^2-2n}{24}\rfloor\)
两者相加，最终结果为\(\lfloor\frac{2n^3+5n^2+2n}{8}\rfloor\)

aimisiyou

mathe 发表于 2024-11-4 17:09
三角形分两类，尖头朝上的\(\Delta\)和尖头朝下的\(\nabla\).
其中\(\Delta\)比较容易，它的底边在某条横线 ...

n=5时，应该是49个吧。

nyy

aimisiyou 发表于 2024-11-4 18:49
n=5时，应该是49个吧。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. pt={Cos[60deg],Sin[60deg]}(*每一行起始点的偏移向量*)
   
4. n=5;(*每边的段数*)
   
5. (*产生所有的三角形的顶点的坐标*)
   
6. aa=Table[i*pt+{j,0},{i,0,n},{j,0,n-i}];
   
7. (*对aa的每一行两两组合,然后再去括号,形成线段两点对(这两个点所在的线段平行于x轴)组成的列表*)
   
8. bb=Flatten[#,1]&@(Subsets[#,{2}]&/@aa)
   
9. (*对每个线段判定,能否形成顶点在上的△,似乎每一个都能形成△*)
   
10. cc=If[#[[1,2]]+EuclideanDistance[#[[1]],#[[2]]]*Sin[60deg]<=n*Sin[60deg],1,0]&/@bb
    
11. (*对每个线段判定,能够形成顶点在下的▽*)
    
12. dd=If[#[[1,2]]-EuclideanDistance[#[[1]],#[[2]]]*Sin[60deg]>=0,1,0]&/@bb
    
13. ee=Total[cc]+Total[dd](*计算所有的可能的个数*)
    

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来，我用穷举法把所有的答案都告诉你！
最后结果48个！

nyy

下三角形▽的个数数列！
https://oeis.org/A173196

通项公式为
a(n) = (4*n^3 + 6*n^2 - 4*n - 3 + 3*(-1)^n)/48

上三角形△的个数

https://oeis.org/A000292

通项公式
a(n) = C(n+2,3) = n*(n+1)*(n+2)/6

两者求和后的通项公式

\[\frac{1}{16} \Big(2 n (n+2) (2 n+1)+(-1)^n-1\Big)=\left\lfloor \frac{1}{8} n (n+2) (2 n+1)\right\rfloor\]

王守恩

从简单想起。主帖=8层
01层=0001=01=单个
02层=0005=04+1=单个+4个
03层=0013=09+3+1=单个+4个+9个
04层=0027=16+6+3+1+(1)=单个+4个+9个+16个+(4个)。()表示尖朝下。
05层=0048=25+10+6+3+1+(3)=单个+4个+9个+16个+25个+(4个)。()表示尖朝下。
06层=0078=36+15+10+6+3+1+(6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+(4个+9个)。()表示尖朝下。
07层=0118=49+21+15+10+6+3+1+(10+3)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+(4个+9个)
08层=0170=64+28+21+15+10+6+3+1+(15+6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+(4个+9个+16个)
09层=0235=81+36+28+21+15+10+6+3+1+(21+10+3)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+(4个+9个+16个)
10层=0315=100+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(28+15+6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+100个+(4个+9个+16个+25个)
11层=0411=121+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(36+21+10+3)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+100个+121个+(4个+9个+16个+25个)
12层=0525=144+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(45+28+15+6+1)=单个+4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+100个+121个+144个+(4个+9个+16个+25个+36个)
13层=0658=169+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(55+36+21+10+3)=...+(4个+9个+16个+25个+36个)
14层=0812=196+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(66+45+28+15+6+1)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个)
15层=0988=225+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(78+55+36+21+10+3)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个)
16层=1188=256+120+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(91+66+45+28+15+6+1)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个)
17层=1413=289+136+120+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(105+78+55+36+21+10+3)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个)
18层=1665=324+153+136+120+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(120+91+66+45+28+15+6+1)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个)
19层=1945=361+171+153+136+120+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(136+105+78+55+36+21+10+3)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个)
20层=2255=400+190+171+153+136+120+105+91+78+66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1+(153+120+91+66+45+28+15+6+1)=...+(4个+9个+16个+25个+36个+49个+64个+81个+100个)

aimisiyou

王守恩 发表于 2024-11-5 10:55
从简单想起。主帖=8层
01层=0001=01=单个
02层=0005=04+1=单个+4个

DP

hujunhua

问题是不是等价于从一个边长为8的立方体中，削下一角，角中的整点数，即
x+y+z≤7
的非负整数解(x,y,z)的解数