求1/4圆的半径

nyy

腾讯视频号上看到的题目！

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {BF,BD}={9,Sqrt[12^2+16^2]}
   
3. (*三个角相加等于90°*)
   
4. ans=Solve[ArcSin[BF/R]+2*ArcSin[(BD/2)/R]+ArcCos[(9+12)/R]==Pi/2,{R}]
   

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三个角相加等于90°，列方程
\[2 \sin ^{-1}\left(\frac{\text{BD}}{2 R}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{\text{BF}}{R}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{9+12}{R}\right)=\frac{\pi }{2}\]

解方程，得到
\[\left\{\left\{R\to -\frac{85}{4}\right\},\left\{R\to \frac{85}{4}\right\}\right\}\]

gxqcn

通过镜像翻转把圆补全，可得到一个“十”字形。
十字形的竖，宽度为18，高2h可通过相交弦定理获得，12·(12+18)=16(2h-16), →h=77/4
圆的半径=\(\D\sqrt{9^2+h^2} =\frac{85}{4}\)

nyy

gxqcn 发表于 2024-11-8 09:11
通过镜像翻转把圆补全，可得到一个“十”字形。
十字形的竖，宽度为18，高2h可通过相交弦定理获得，
圆的半径= ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {xb,yb}={0,16}
   
3. {xd,yd}={12,0}
   
4. {xo,yo}={-9,yo}
   
5. ans=Solve[{
   
6.     (xb-xo)^2+(yb-yo)^2==R^2,(*B点在圆上*)
   
7.     (xd-xo)^2+(yd-yo)^2==R^2,(*D点在圆上*)
   
8.     R>0 (*限值变量范围*)
   
9. },{yo,R}]
   

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解析几何，列方程组，
假设圆的方程是(x+9)^2+(y-yo)^2=R^2
BD两点在圆上，C为原点，CD为x轴，CB为Y轴。

解方程组，得到
\[\left\{\left\{\text{yo}\to -\frac{13}{4},R\to \frac{85}{4}\right\}\right\}\]

王守恩

OF=16+x,  9^2+(16+x)^2=x^2+(9+12)^2=R^2

mathe

这个方法也可以

nyy

没有什么是方程组解决不了的问题！

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*列出两个方程所构成的方程组*)
   
6. eqns={
   
7.     (*∠AOE=90°,等于4个小角相加*)
   
8.     ArcSin[9/r]+ArcCos@cs[r,OC,16]+ArcCos@cs[OC,r,12]+ArcCos[(9+12)/r]==90deg,
   
9.     (*余弦定理与反余弦函数,∠BCO+∠DCO=270°*)
   
10.     ArcCos@cs[OC,16,r]+ArcCos@cs[OC,12,r]==270deg
    
11. }
    
12. (*牛顿迭代法求解方程组,并且去掉虚部非常小的部分*)
    
13. aa=Chop@FindRoot[eqns,{{OC,10},{r,22}},WorkingPrecision->30]
    
14. (*由高精度数值解得到精确解*)
    
15. bb=RootApproximant[{OC,r}/.aa]
    

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方程组为
\[\left\{\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2+r^2-256}{2 \text{OC} r}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2+r^2-144}{2 \text{OC} r}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{9}{r}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{21}{r}\right)=\frac{\pi }{2},\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2-r^2+144}{24 \text{OC}}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{\text{OC}^2-r^2+256}{32 \text{OC}}\right)=\frac{3 \pi }{2}\right\}\]

方程组的数值解为
{OC -> 9.56882960450231865241539711148, r -> 21.2500000000000000000000000000}

精确解为
\[\left\{\frac{\sqrt{1465}}{4},\frac{85}{4}\right\}\]

nyy

mathe 发表于 2024-11-10 07:58
这个方法也可以

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*利用余弦定理、反余弦函数、正弦定理,求解问题*)
   
5. 20/Sin[ArcCos@cs[34,(12+18+12),20]]/2
   

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求解结果
85/4=21.25