复合函数证明中为什么要设置φ(x)不等于u0的前提条件

jiewenji

请看下方证明过程（取自苏德矿微积分上P39），为什么非要在题干中先设定一个x0去心邻域，强调φ(x)不等于u0，然后在后续证明中δ1，然后再取δ=min|δ',δ1| ,令x进入 邻域(x0，δ)，然后完成证明。把题干中的红线部分去掉，证明过程完全不出现δ’，也不用取δ=min|δ',δ1| ，就直接用δ1 完成证明不可以么？

lihpb00

u0有可能是断点，但极限存在，就像sinx/x，x=0是断点

jiewenji

lihpb00 发表于 2024-11-16 16:31
u0有可能是断点，但极限存在，就像sinx/x，x=0是断点

谢谢你的回复。

我暴露一下我的想法。请你看看哪里错了。

总的来说这是在证明给定前提条件的情况下，复合函数的极限等于多少。“极限是否存在本就不依赖于任何函数在某点是否存在或 是否有定义 或者 其函数值是多少？”----------如果我的认识是正确的，那么似乎不许呀讨论φ(x)在去心邻域(x0,δ')是否等于u0的问题了？

lihpb00

jiewenji 发表于 2024-11-16 16:49
谢谢你的回复。

我暴露一下我的想法。请你看看哪里错了。

极限的存在与该点有没有定义没有关系。但如果u0本身有定义，那极限自然就是u0的函数值