正三角形的黄金梅涅劳斯线

hujunhua

如图，直线 $l$ 交正三角形△ABC三边所在直线于D, E, F，其中E, F为所在边的黄金分割点，所以直线DEF称为△ABC的一条黄金梅涅劳斯线。

我们提一个发散性的问题：请研究发现正三角形中黄金梅涅劳斯线的美妙特性。
比如：
【性质1】C是BD的黄金分割点。
证：这是由梅涅劳斯定理和黄金分割比$(sqrt5-1)/2$（以下记为Ω）的性质所决定的。
不妨置正三角形△ABC的边长为1，则$AE=BF=Ω, AF=CE=Ω^2$
由梅涅劳斯定理可得    ${DC}/{DB}=Ω^2$, 所以${DC}/{CB}={DC}/(DB-DC)={Ω^2}/{1-Ω^2}=Ω$
【性质2】E是DF的黄金分割点。
证：由于C是BD的黄金分割点，F是AB的黄金分割点，按性质1知AC是△BDF的黄金梅涅劳斯线。
【推论1】上述完全四线形中任何一条直线都是剩余三线形的黄金梅涅劳斯线。

性质1和性质2更坐实了直线DEF的黄金梅涅劳斯线之名。

lihpb00

黄金分割的性质在球面等边三角形上也成立

hujunhua

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Sejfried定理

正三角形的一种面积四等分图

hujunhua

1、将正三角形△ABC的中心三角形△DEF的三条边视为一条封闭折线Z，定义3个“透视”：
$ρ_A$=以 A 为“透视”中心，将 EF 段点列透射到 Z 的剩余段（即折线E-D-F）；
$ρ_B$=以 B 为“透视”中心，将 FD 段点列透射到 Z 的剩余段；
$ρ_C$=以 C 为“透视”中心，将 DE 段点列透射到 Z 的剩余段。
如图，红线是$ρ_Aρ_Bρ_C(X)=X$的一个闭合环。
2、以△ABC的内切圆代替上述封闭折线 Z 重新定义3个“透视”，
如图，蓝线是相应的闭合环（反向）。

奇妙的是：
1、红色闭合环IJK内接于蓝色闭合环GHI。
2、各色线都呈黄金分割比。
（所以红线是△DEF的，也是△GHI的黄金梅列劳斯线）