几何难题3

leimou

谢绝高中解法！

ejsoon

好題，思考中

Jack315

如图所示，设 \(a=BC=BD\)，\(\alpha=\angle DCA=\angle ADB=\angle DBC\)：

过 B 点作 CD 的垂线交 CD 于 E ：
\(DE=a \sin(\frac{\alpha}{2})\)
\(CD=CO=2a \sin(\frac{\alpha}{2})\)
在相似三角形 \(\triangle DCO\) 和 \(\triangle CBD\) 中有：
\(DO=\frac{CD^2}{BC}=\frac{4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{a}=4a\sin^2(\frac{\alpha}{2})\)
从而 \(BO=BD-DO=a-4a\sin^2(\frac{\alpha}{2})\)
在相似三角形 \(\triangle AOD\) 和 \(\triangle COB\) 中有：
\(AD=\frac{DO}{BO}BC=\frac{4a\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{a-4a\sin^2(\frac{\alpha}{2})}a=\frac{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{1-4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}a\)
在 \(\triangle DBC\) 中可得出梯形的高为：\(h=a\sin\alpha\) 。
在 \(\triangle ABC\) 中可得出梯形的高为：\(h=AB\sin(\alpha+\theta)\) 。
因而有 \(AB=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\theta)}a\)
在 \(\triangle ABD\) 中应用正弦定理得：
\(\frac{AD}{\sin\theta}=\frac{AB}{\sin\alpha}\rightarrow \frac{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{1-4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}=\frac{\sin\theta}{\sin(\alpha+\theta)}\)
代入 \(\theta=15\degree\) 解得 \(\alpha=30\degree\)
因而有：
\(\beta=90\degree-\frac{3}{2}\alpha=45\degree\)
\(\alpha+\theta=45\degree\)
\(\triangle ABC\) 为直角三角形。

证明过程有点费劲，不知道有没有巧妙点的。

王守恩

1,万能公式。\(1=\frac{\sin∠OBA\sin∠OCB\sin∠ODC\sin∠OAD \ \ \ \ }{\sin∠OBC\sin∠OCD\sin∠ODA\sin∠OAB \ \ \ \ }=\frac{\sin(15)\cos(3a)\cos(a)\cos(3a) \ \ \ \ }{\sin(2a)\sin(2a)\sin(2a)\sin(75+a)} \ \ \ \ \ \ \ \)

2,由△ADC相似△COB   \(\frac{\sin(2a)}{\cos(3a)}=\frac{\sin(15+2a)}{\sin(75+a)}\)

3,......

三角函数不是挺好吗？