求曲线方程

倪举鹏

平直薄膜做的水渠，求红色曲线方程，抛物线？悬链线？其他？

hujunhua

在水平面处明显存在边界，所以不可能是一致发散的抛物线或者悬链线。

假定水无限深又行不通。

四来

数学物理方程，忙活半晌，最后发现还是只能整一个数值解。

倪举鹏

四来 发表于 2025-2-14 20:03
数学物理方程，忙活半晌，最后发现还是只能整一个数值解。

方程列出来看看

yigo

以水面左上角为原点，水平向右为x轴，向下为z轴，假设薄膜完全柔软（无弯曲刚度），不可伸长，只考虑水的压强作用在薄膜上（薄膜上只有法向压力，没有切向力），则平面内薄膜拉力T/R=Cz，T为定值，C为常数，R为曲线半径，即Rz=常数。然后就是边界条件了。

倪举鹏

k*D(2)(y)(x) = (h-y(x))*(1+(D(y))(x)^2)^(3/2),y(0) = 0, (D(y))(0) = 0

yigo

以水面左上角为原点，水平向右为x轴，向下为z轴，假设薄膜完全柔软（无弯曲刚度），不可伸长，只考虑水的压强作用在薄膜上（薄膜上只有法向压力，没有切向力），则平面内薄膜拉力T/R=Cz，T为定值，C为常数，R为曲率半径，即Rz=常数。然后就是边界条件了。
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再写详细点
考虑到水渠很长取单位宽度的拉力计为\(\tau_0\)，原点处薄膜与x轴的夹角为\(\theta_0\),
微分方程为\(\frac{\tau_0}{R}=\rho gz\),\(R=-\frac{\dif s}{\dif\theta}=-\frac{\dif z}{\sin\theta \dif\theta}\),
故\(z\dif z=-\frac{\tau_0}{\rho g}\sin\theta \dif\theta\),
积分得：\(z^2=\frac{2\tau_0}{\rho g}(\cos\theta-\cos\theta_0)\),令\(A^2=\frac{2\tau_0}{\rho g}\),
则：\(\cos\theta=\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2\),\(\sin\theta=\sqrt{1-(\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2)^2}\)
则：\(\frac{\dif z}{\dif x}=\tan\theta=\frac{\sqrt{1-(\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2)^2}}{\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2}\),
\(x=0\)时\(z=0\),形状由\(\tau_0,\theta_0\)唯一确定，不改变角度，只改变张拉力的大小，曲线形状是缩放关系。

yigo

如果薄膜断面曲线长度为\(L\)，求开口宽度\(X\)取何值时过水面积\(S\)最大。
如果薄膜断面曲线长度为\(L\)，求开口宽度为0时的曲线形状。

yigo

7#楼的微分方程\(\frac{\dif z}{\dif x}=\frac{\sqrt{1-(\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2)^2}}{\cos\theta_0+(\frac{z}{A})^2}\)，无量纲化，\(\theta_0\)用\(\alpha\)简化表示，化为标准方程，用wolframalpha求得：
\(x=\int_0^{z}\frac{\cos\alpha+t^2}{\sqrt{1-(\cos\alpha+t^2)^2}} \dif t\)
\(\;\;\;=\sqrt{1+\cos\alpha}\;  \text{EllipticE}(\arcsin(\frac{z}{\sqrt{1-\cos\alpha}}),-\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha})-\frac{1}{\sqrt{1+\cos\alpha}}\;  \text{EllipticF}(\arcsin(\frac{z}{\sqrt{1-\cos\alpha}}),-\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha})\)
谁能画下\(\alpha\)从\(0\)到\(\pi\)变化时的函数图像。