三角形的平行等长点

iseemu2009

如图，过△ABC 内一点Y作三边的平行线段 DE、MN 和 PQ，存在一个使得三条线段长度相等的位置，称为△ABC的平行等长点。
问题1：求三条等长线段的长度。
问题2：求平行等长点的重心坐标。

平行等长点

mathe

齐次坐标比较容易，如果长度为l, 由相似比易得面积坐标为    $(1-l/a,1-l/b,1-l/c)$,

根据三者和为 1 即得      $l=2/(a^-1+b^-1+c^-1)$.

代回得面积坐标为    $((-a^-1+b^-1+c^-1)/(a^-1+b^-1+c^-1),(a^-1-b^-1+c^-1)/(a^-1+b^-1+c^-1),(a^-1+b^-1-c^-1)/(a^-1+b^-1+c^-1))$

hujunhua

换成sinA, sinB, sinC，分子分母也无法化成一项。

在ETC网站查询了一下，是X(192) =CONGRUENT PARALLELIANS POINT

X(192) = X(1)-CEVA CONJUGATE OF X(2).

四来

总算碰到一道会做的。