设计求最值的“钓鱼”多项式

yuange1975

#数学挑战#

设计一个用来求最大最小值的“钓鱼”多项式

设计一个1元多项式，其极值条件就是导数等于0的方程是一实数域6次不可约多项式方程，但是最终其极值是一个6次可约的方程。

这样这个多项式的最大或者最小值有简单的解析表达式，但是其最值点表达式因为是不可约的6次方程的解比较复杂。

这样大多数人解不出这个6次方程，所以也求不出最大最小值的解析表达式，但是实际上最大最小值又有比较简洁的解析表达式。

四来

这有一道现成的，导数易求，方程难解，不妨试试。
据说是韦东奕当年的练习题。

yuange1975

#数学

#韦东奕

#韦神

#多项式极值


“这有一道现成的，导数易求，方程难解，不妨试试。
据说是韦东奕当年的练习题。”



是感觉以前做过，果然找到了以前做过的更推广的。
解方程组其实用代码用结式计算消元，方程组也不难解。

就是任意多个的通解看看怎么算出来？看这个方程有不有递推关系？看前几个看样子不太好找递推关系。

以前发的文章：



n(n>=2)个非负实数和为定值s，其所有两两之差的乘积最大值？

都是齐次，可以把每个数除以s，然后s就可以提取出来，这样除了1个s^(n(n-1)/2)系数外和s无关。也就是相当于可以只考虑简单的s=1的情形的最大值，然后最大值乘以s的这个系数就行了。

另外乘积最大，明显有一个数取最小值0和每个数取值不能相同。

对于不大的n，很容易计算出最终除了0以外，其它数取下面n-1次多项式等于0的方程的根的时候，两两差值之乘积最大。

x-1

x^2-x+1/6

x^3-x^2+1/4x-1/72

x^4-x^3+3/10x^2-3/100x+3/4000

x^5-x^4+1/3x^3-2/45x^2+1/450x-1/33750
……

x-1
6x^2-6x+1
72x^3-72x^2+18x-1
4000x^4-4000x^3+1200x^2-120x+3
33750x^5-33750x^4+11250x^3-1500x^2+75x-1
……

最终这个多项式有递推关系吗？多项式通用表达式是怎么样的呢？这些0-1的根有什么性质呢？