使用拉格朗日乘子法时，能否先对目标函数取对数？

TSC999

对一个一元函数或多元函数求极值时，拉格朗日乘子法是一个常用方法。现在的问题是：
有时为了方便求目标函数的偏导数，能否先对目标函数取自然对数进行改造后，再使用拉格朗日乘子法进行计算？这样做会不会产生错误？
举两个具体例子加以说明：


上面是一个成功的例子。此例中先取对数后求偏导数反而变复杂了，没有必要这样做，但是这样做也没出毛病。

第二个例子：
若 \(a＞b＞c＞0，\) 求证 \(f(a,b,c)=abc(a-b)(a-c)(b-c)\) 的最大值是 \(27\)。
先对目标函数取对数再使用拉格朗日乘子法，做法如下：

上面也是一个成功的例子。此例中先取对数后求偏导数就变简单了，不取对数就不好办。
只从上面这两个例子看，似乎先对目标函数取对数是可行的，但是只凭举例不算证明。如何才能证明或证否？或者说在什么条件取对数才不会有毛病？

TSC999

使用拉格朗日乘子法求函数的极值时，可以先对目标函数取对数然后按正常程序计算，这样做不会影响到计算结果。证明如下：