pi的误差分数

王守恩 · 发表于 4 天前

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314——国际数学日。

1:|pi-3/1|=0.141692
2:|pi-16/5|=0.0584073
3:|pi-22/7|=0.00126448
4:|pi-201/64|=0.000967653
5:|pi-333/106|=0.0000832196
6:|pi-355/113|=2.66764*10^-7
7:|pi-355/113|=2.66764*10^-7
8:|pi-75948/24175|= 9.92981*10^-8
9:|pi-100798/32085|=9.05184*10^-9

我们专门把分母拉出来,是这样一串数:

1, 5, 7, 64, 106, 113, 113, 24175, 32085, 33102, 99532, 265381, 1360120, 1725033, 18610450, 25510582, 78256779, 340262731,811528438, ...

这串数可是在OEIS找不到的。可有好的通项公式？谢谢 northwolves！

Table[Min@Denominator@Select[Table[Rationalize[Pi + k*10^(-n - 1), 10^-n], {k, -5, 5}], Abs[Pi - #] < 10^-n &], {n, 0, 20}]

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\(\pi\)的误差分数(\frac{1}{10})^k\)——分布合理——

1, 5, 7, 64, 106, 113, 113, 24175, 32085, 33102, 99532, 265381, 1360120, 1725033, 18610450, 25510582, 78256779, 340262731, 811528438, ...

\(\pi\)的连分数——有时候精度不够——有时候浪费——

1, 7, 106, 113, 33102, 33215, 66317, 99532, 265381, 364913, 1360120, 1725033, 25510582, 52746197, 78256779, 131002976, 340262731,...

northwolves · 发表于 4 天前

a=Array[Denominator@Rationalize[Pi,1/10^(#-1)]&,50];Table[{n,a[[n]],N[Abs[Round[a[[n]]*Pi]/a[[n]]-Pi],5]},{n,50}]//Grid

复制代码

1 1 0.14159
2 7 0.0012645
3 7 0.0012645
4 64 0.00096765
5 106 0.000083220
6 113 2.6676*10^-7
7 113 2.6676*10^-7
8 24175 9.9298*10^-8
9 32085 9.0518*10^-9
10 33102 5.7789*10^-10
11 99532 2.9143*10^-11
12 265381 8.7155*10^-12
13 1360120 4.0407*10^-13
14 1725033 2.2145*10^-14
15 18610450 9.0043*10^-15
16 25510582 5.7909*10^-16
17 78256779 7.8179*10^-17
18 340262731 3.0701*10^-18
19 811528438 5.5137*10^-19
20 1963319607 7.6266*10^-20
21 6701487259 2.6164*10^-22
22 6701487259 2.6164*10^-22
23 413528890451 9.9206*10^-23
24 554260122890 7.5844*10^-24
25 1142027682075 3.1478*10^-25
26 2851718461558 7.7216*10^-27
27 2851718461558 7.7216*10^-27
28 41633749241295 7.0104*10^-28
29 91822653867264 8.3702*10^-29
30 136308121570117 3.8054*10^-30
31 1543874804974140 9.4644*10^-31
32 1952799169684491 4.8627*10^-32
33 9627687726852338 4.5617*10^-33
34 21208174623389167 3.3582*10^-34
35 115668560843798173 7.1820*10^-35
36 136876735467187340 8.6578*10^-36
37 842468587426513207 1.4107*10^-38
38 842468587426513207 1.4107*10^-38
39 49842523393631466553 9.7075*10^-39
40 79328923953559428798 8.5565*10^-40
41 84383735478118508040 4.0667*10^-41
42 252308737846929010913 6.3015*10^-42
43 589001211171976529866 4.2749*10^-43
44 3786316004878788190109 2.0908*10^-44
45 11947949225808341100193 1.1965*10^-45
46 39630163682303811490688 9.1545*10^-46
47 75474011359728834791267 8.7544*10^-47
48 139000073493649328482341 7.7766*10^-48
49 909474452321624805685313 1.3377*10^-49
50 5595846787423398162594219 6.2723*10^-50

nyy · 发表于 4 天前

难道你没有听过连分数吗？

王守恩 · 发表于昨天 08:50

连分数落后了！

\(\pi\) 的误差分数\((\frac{1}{10})^n\)——分布合理——A360367——2023 年 2 月 4 日

1, 7, 7, 64, 106, 113, 113, 24175, 32085, 33102, 99532, 265381, 1360120, 1725033, 18610450, 25510582, 78256779, 340262731, 811528438, 1963319607, 6701487259, 6701487259,

Table[Denominator@Rationalize[Pi, (1/10)^n], {n, 0, 20}]

复制代码

王守恩 · 发表于昨天 09:28

再举个例子。

\(e\) 的误差分数\((\frac{1}{10})^n\)——分布合理——OEIS暂时没有。

{1, 3, 7, 32, 71, 394, 1001, 5541, 8544, 18089, 154257, 398959, 398959, 4597073, 10391023, 10391023, 140478290, 312129649, 312129649, 4843205071, 10622799089, 10622799089}

Table[Denominator@Rationalize[E, (1/10)^n], {n, 0, 21}]

复制代码

\(e\) 的的渐近分数——分布不合理——浪费太多——该有的又没有。

{1, 1, 3, 4, 7, 32, 39, 71, 465, 536, 1001, 8544, 9545, 18089, 190435, 208524, 398959, 4996032, 5394991, 10391023, 150869313, 161260336, 312129649, 5155334720, 5467464369, 10622799089}

Denominator[Convergents[E, 26]]

复制代码

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[讨论] pi的误差分数

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