证明图中$BE=x$ 与 $EC=y$ 有无穷多组解且恒有 $AB:BE=2$ 和 $ED=4$

TSC999 · 发表于 3 天前

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上图中，$AE$ 是角 $A$ 的平分线， $AE$ 的延长线交外接圆于 $D$ 。
已知 $AE=12，DB=DC=8$。证明： ①$BE=x$ 与 $EC=y$ 有无穷多组解，且恒有 ② $AB:BE=2$ 和 $AC:EC=2$，即上图中的比例系数 $t=2$。③ $ED=4$。
下面是无穷多解中的三个例子。
三个例子.png

王守恩 · 发表于 3 天前

本帖最后由王守恩于 2025-3-11 19:48 编辑

搞复杂了。改一下。

Table[Solve[{BE/DE == 12/CE == (t*BE)/8, 12 + DE == 8 t, CE > 0}, {CE,DE, t}], {BE, 9}]

northwolves · 发表于 3 天前

利用余弦定理，$cos\angleAEB=-cos\angleAEC,cos\angleDEB=-cos\angleDEC$
可得：
$xy=\frac{144}{t^2-1}$,$xy+DE^2=64$,$DE=\sqrt{64-\frac{144}{t^2-1}}$

令$t=2$,则有$DE=4,x*y=48$

TSC999 · 发表于 3 天前

TSC999 · 发表于前天 08:36

有一个更简单的证明：
豆包证明.png

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[原创] 证明图中\(BE=x\) 与 \(EC=y\) 有无穷多组解且恒有 \(AB:BE=2\) 和 \(ED=4\)

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