斜率为整数的直线

mathe

对于方程
\(k_3 = \frac{2k_2+(k_2^2-1)k_1}{2k_1k_2-k_2^2+1}\)
\(k_2=k_1\)不是我们感兴趣的，
而对于\(k_2 \gt k_1\), 分母模\(k_2\)为1，分子模\(k_2\)为\(k_2-k_1\)
所以得到\(k_3\)模\(k_2\)为\(k_2-k_1\)
我们设\(k_3=hk_2-k_1\)代入得到
\(\frac{h-2}h=\frac{(k_2-k_1)^2}{k_1^2-1}\)
记\(c=k_2-k_1,a=k_1\)
我们得到
\((h-2)a^2-hc^2=(h-2)\)
对于每个固定的h都形成一个广义Pell方程，而且每组都有解。

适用网页 https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM 可以找到各不同h的通解的。

wayne

精彩的变换~
按照普通人的思路，是直接解关于$k_2$的二次方程，令 根号下的表达式是平方，进而得到$(1+k_1^2)(1+k_3^2)=k^2$，这条路走下去的。