新人报到，兼出个题目（三角形分割）

本因坊算帐

大家好，我无意中看到这个地方，很高兴能在这里见到这么多有趣的题目和同我一样喜欢思考的朋友！ 题目： 是否存在一个三角形，可以分割为 七 个全等的小三角形

KeyTo9_Fans

欢迎来到数学研发论坛。 你的题目很有意思。 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$8$、$9$都好办： $7$比较难，不过简单地欺骗一下眼睛还是挺好办的：

本因坊算帐

其实这道题目，我也不知道答案…… 关于其它数字，有个结论，对于自然数N，如果N能够写成两个整数的平方和，则必存在能分割为N个全等小三角形的三角形 构造的方法，N=a*a+b*b，a b 都是正整数（如果有一个是零则很简单），取直角边之比为 a：b 的直角三角形即可。 另外，对于 3，6这样的数字，也不难构造。 7 是第一个很难构造的数字，我也没找到结论，但目前倾向于认为不存在构造方法

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到底存不存在，可以试着枚举一下所有可能的分割方案。 大三角形的三个角大小分别为$A$、$B$、$C$； 小三角形的三个角大小分别为$A_2$、$B_2$、$C_2$。 至于边长，可以根据面积比=$7$:$1$来确定。 要确定这$6$个角的大小， 首先有 $A+B+C=\pi$ 以及 $A_2+B_2+C_2=\pi$ 然后讨论一下$A$、$B$、$C$这三个角是如何用$A_2$、$B_2$、$C_2$来拼成的。 例如，其中一种可能是 $A=B_2+C_2$ $B=B_2$ $C=C_2$ 对于这种情况，可以得到$A_2=\pi/2$。 对于所有的情况，$A$、$B$、$C$都可以表示成不超过$7$个加数的和，枚举量不算太大。 其对应的边长$a$、$b$、$c$和$a_2$、$b_2$、$c_2$也是如此。 $a$、$b$、$c$也要表示成不超过$7$个加数的和。 在这些条件的约束下，要讨论的情况不算太多。 希望上述想法可以不断地得到简化。 最终巧妙地证明不存在构造方法。