一个最大值问题

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写了个程序计算了一下，7#在10以内数据都是正确的，但是对于15的结果不对，应该为: 28.245565[ 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 2.000000 0.5000 00 2.000000 0.500000 1.863636 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 ] 同样对于20也可以计算出来如下： 37.875287[ 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 2.000000 0.5000 00 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 2.000000 0.500000 1.933333 0.500000 0.500 000 0.500000 0.500000 0.500000 ] 所以现在最优的模式可以猜测为前面若干对2,0.5,后面若干连续0.5,中间隔一个待定数

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1. #include <stdio.h>
2. #include <math.h>
3. #define N 15
4. int best_cand;
5. int best_t;
6. double maxv=0;
8. double value[N];
9. void lookup(int t)
10. {
11. int i,j;
12. double T=N*N/2.0;
13. for(i=0;i<1<<N;i++){
14. for(j=0;j<N;j++){
15. if(i&(1<<j)){
16. value[j]=2.0;
17. }else{
18. value[j]=0.5;
19. }
20. }
21. double s=0.0;
22. for(j=0;j<N;j++){
23. if(j!=t){
24. s+=value[j]*(j+1);
25. }
26. }
27. value[t]=s=(T-s)/(t+1);
28. if(s>=0.5&&s<=2.0){
29. s=0.0;
30. for(j=0;j<N-1;j++){
31. s+=value[j]/value[j+1];
32. }
33. s+=value[N-1]/value[0];
34. if(s>maxv){
35. maxv=s;
36. best_t=t;
37. best_cand=i;
38. }
39. }
40. }
41. }
43. void decode()
44. {
45. int j;
46. double s=0.0;
47. printf("%f[ ",maxv);
48. for(j=0;j<N;j++){
49. if(best_cand&(1<<j)){
50. value[j]=2.0;
51. }else{
52. value[j]=0.5;
53. }
54. if(j!=best_t){
55. s+=value[j]*(j+1);
56. }
57. }
58. value[best_t]=(N*N/2.0-s)/(best_t+1);
59. for(j=0;j<N;j++){
60. printf("%f ",value[j]);
61. }
62. printf("]\n");
63. }
65. int main()
66. {
67. int i;
68. for(i=0;i<N;i++){
69. lookup(i);
70. }
71. decode();
72. return 0;
73. }

复制代码

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10#分析了连续两个以上的0.5后面不可以出现连续的2 而同样，如果我们分析0.5 0.5 0.5 2 0.5,可以发现它不是最优的，因为0.5 2.0 0.5 c 0.5 (其中c=0.5+1.5/(k+2))可以替换它得到更好的结果。由此我们可以得到，只要出现连续3个以上0.5以后，后面将不可以出现2.

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一个扩展的猜想，如果约束和由${n^2}/2$改成一个任意的正实数，是不是取最大值的地方必然是形如 2,2,...,2,u,2,0.5,2,0.5,...,2,0.5 或 2,0.5,2,0.5,..,2,0.5,u,0.5,0.5,...,0.5

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根据mathe的结论: 所以现在最优的模式可以猜测为前面若干对2,0.5,后面若干连续0.5,中间隔一个待定数 设待定数$u=a_(2k+1)$则可以推得$u=1/{4(2k+1)}*(n^2-n+2-(6k^2-4k))$现在的问题归结于求k值? 根据youyouyou提供的数值解有: $n=4,5$ 时$ k=1$ $n=6,7$ 时$ k=2$ $n=8,9,10$时$ k=3$ $n=15$时$ k=5$(mathe) $n=20$时$ k=7$(mathe) 谁能给出 k与n的关系? 进而就能求出最大值及对应的$a_i(1<=i<=n)$值了

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根据上面的结果可以得出最大值:$9/4*k+2*u+1/{2*u}+n-2$

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现将mathe的更一般猜想整理如下: 已知$c<=a_i<=d $ $(0

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根据mathe的结论: 所以现在最优的模式可以猜测为前面若干对2,0.5,后面若干连续0.5,中间隔一个待定数 设待定数u=a_(2k+1)则可以推得u=1/{4(2k+1)}*(n^2-n+2-(6k^2-4k))现在的问题归结于求k值? 根据youyouyou提供的 ... 数学星空 发表于 2010-5-22 23:15

这个k的计算其实不难，只要根据前面加权和为${n^2}/2$,而且$1/2<=u<=2$可以得出一个不等式，而这个不等式的整数解会正好唯一存在

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根据mathe的提示: 我们可以算出: k=[$sqrt{1/{2(d-c)} ((2R-c)n^2-nc)} $] 当$c=1/2,d=2,R=1/2$时 k=[$ sqrt{(n^2-n)/6}$] 注: [x]为不大于x的最大整数