五圆覆盖问题

KeyTo9_Fans

$5$个半径为$1$的圆可以覆盖一个多大的圆？ 其中一个比较漂亮的结果是$1.618$，方案是每个圆均过大圆的圆心，覆盖$1/5$的圆周。

于是大圆和小圆的半径之比恰好是黄金比。 如下图所示（画得不是很精确）： 但这并不是最优方案。 最佳答案是$1.64$左右。 但我求不出精确结果。 不知道利用功能强大的数学工具能否把精确结果算出来。

数学星空

准确的数据如下:

KeyTo9_Fans

对，就是这张图。 他给出的结果是$1.641+$，比我的有效数字多$1$位。 不知道这个值有没有精确的表达式。 如果没有，那这个值是多少次方程的根呢？

数学星空

我想应该是10次方程的根....(5个二次方程的求最优解问题)

wayne

五圆覆盖问题，还是很有名的啊， 准确值是1.6410044636036157006508328240593861873182249975202 是八次方程的根： $1296+2112 x-3480 x^2+1360 x^3+1665 x^4-1776 x^5+22 x^6-800 x^7+625 x^8=0$ 的第四个根 详细资料： http://mathworld.wolfram.com/DiskCoveringProblem.html

数学星空

谁能给出下式的具体推导过程? $2 sin(t)- sin(t + phi/2 + psi)- sin(psi - t - phi/2) = 0$, $2 sin(phi) - sin(t + phi/2 + chi) - sin(chi - t - phi/2)= 0,$ $2 sin(t)+ sin(chi + t)- sin(chi - t) - sin(psi + phi)- $ $sin(psi - phi) - 2 sin(psi - 2 t)= 0,$ $cos(2 psi - chi + phi)- cos(2 psi + chi - phi) - 2 cos(chi) + $ $ cos(2 psi + chi - 2 t)+ cos(2 psi - chi - 2 t)=0$

hujunhua

如图，眼睛与鼻侧的两交点正好是对径点，确定这一事实很有用。

数学星空

如图，眼睛与鼻侧的两交点正好是对径点，确定这一事实很有用。 这一事实在不知最优圆的情况是如何得知的呢?

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hujunhua

如图，眼睛与鼻侧的两交点正好是对径点，确定这一事实很有用。 这一事实在不知最优圆的情况是如何得知的呢? 数学星空 发表于 2010-6-7 19:16

先画出鼻子3圆，然后画一个过鼻尖的较大圆，只要使右边那个红色圆弧三角形能被单位圆覆盖，大圆就不超上界。如果左边的红色三角形是钝角三角形，那么钝边最长可达到2而不超出单位圆，此时大圆达到极大。调节两鼻孔的中心距，使极大值达到最大。