以1开头的自然数在所有自然数中占多大比例

mjs1wh · 发表于 2010-8-4 22:47:04

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一般人可能会认为自然数可以有1-9开头，每种各占$1/9$。问题没这么简单，例如，当n=19时，以1开头的自然数所占比例为$11/19$。对于所有自然数我们该怎样确定一个合理的比例呢？初来咋到，发个帖试试

northwolves · 发表于 2010-8-4 23:06:56

欢迎mjs1wh！！！二十年前曾很痴迷于此类问题。当时结论如下：如果是随机取N个自然数，1开头的概率是1/9 如果判断1-N之间的N个自然数，1开头的概率是lg2=0.3010

northwolves · 发表于 2010-8-4 23:12:39

去年还看到过一篇文章，据说作者因此破格提教授了： http://jxy.lszxedu.com/wz/35.pdf

wool · 发表于 2010-8-5 09:38:38

本福特定律说明在b进位制中，以数d起头的数出现的机率为 $P(d)=\log_b(d+1)-\log_b(d)=\log_b (1+\frac{1}{d})$ http://en.wikipedia.org/wiki/Benford_law

mjs1wh · 发表于 2010-8-5 13:28:59

多谢指教，这个问题我也是二十多年前看到的，当时好象还没有解，一直没搞懂，原来对数密度是lg2。但不用对数密度的定义是否可行呢？我曾考虑过将P(n)作为一个变周期函数，然后求这个函数的算术平均值或几何平均值，不知是否可行？

neypal · 发表于 2010-8-7 11:03:29

3# northwolves 看了两眼，作者一开始就在偷换概念，还没你前面两句说的思路清晰还是你直接去应聘那边的教授比较靠谱

mjs1wh · 发表于 2010-8-7 11:22:58

哈哈，应聘教授可不敢，不过我也觉得用概率、机率、对数密度等概念来描述不太严密，就象量子力学不太容易被人接受一样。

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