平面上被遗忘的角落

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平面S上一个三角形ABC，其内切圆为Q，外接圆为P， 在P上任取一点D，作Q的切线L1、L2。 L1、L2 交AB于点E1、F1，作三角形DE1F1的外接圆Y1， L1、L2 交AC于点E2、F2，作三角形DE2F2的外接圆Y2， L1、L2 交BC于点E3、F3，作三角形DE3F3的外接圆Y3， 当D取遍圆P上的所有点后，求平面S上满足下面条件的所有点G的集合（平面上被遗忘的角落），并求其面积。（设三角形ABC的边长分别为a、b、c） 条件： 无论D取何点，G均不落在圆Y1、Y2、Y3上。

hujunhua

哪来的题呀,这么复杂! 我研究了一下, 画出了这个被遗忘的角落, 作法如下: （已有三角形ABC的外接圆O，内切圆I，即题中的P，Q） 1、取外接圆O上的圆弧CAB的中点A', 连结OA，IA', 相交于点1 2、以点1为圆心，作过顶点A的圆1. 此即题中Y3的包络，圆1的内部是Y3上的点所不达的区域。 3、完全类似作出圆2和圆3. 4、圆1、圆2和圆3的三叠区即是所谓“被遗忘的角落”（最浅色的那个圆弧三角形） 这个面积，怕是不那么好算，我连三圆相交面积公式都没有。

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曾看到一道题，是证明所有的圆Y1都相交于同一点的。 有人作图，画出了很多的Y1，确实相交于同一点。从该图可以看出平面上Y1的不达区是个圆。同理：Y2、Y3的不达区也是圆。三个圆的共同区域就是共同的不达区，是个圆弧三角形，面积我不会算，所以来请教大家。 我的土方法是建立坐标系，用解析几何的方法，但是觉得很繁琐，没有信心算出它。 --------------------------------------------------------------------------- 另外从图上看，对于任意的D点，Y1、Y2、Y3、P四圆共点，不知如何证明。 --------------------------------------------------------------------------------- 还有若三角形ABC，面积恒定，形状变化时，上述圆弧三角形的面积应该有个最大值和最小值。 按照感觉，应该取极端情况才会得到该极值。不知它的最大值和最小值是多少？

hujunhua

另外从图上看，对于任意的D点，Y1、Y2、Y3、P四圆共点，不知如何证明。056254628 发表于 2010-8-15 22:46

这还用证吗, 都过点D呀, 从D作的嘛.

hujunhua

所有的圆Y1都相交于同一点的。有人作图，画出了很多的Y1，确实相交于同一点。056254628 发表于 2010-8-15 22:46

的确, 所有的Y1都相交于同一点. 由于三角形ABC的外接圆O也是一个特殊的Y1, 所以这个定点在圆O上, 而且在直线C'I上(2#图). 延长C'I与圆O相交即是.

hujunhua

2#的作图法部分不适用于等腰三角形。比如当AC=BC时，C'与C重合，I、O、C(C')共线，IC'与OC的交点就不能确定了。我还没找到简易替代作图方法。

wayne

太乱，俺没这定力，~~