田埂最短问题的逆问题

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gxqcn的均分田地，田埂最短问题，可以导出很多应遵循的规则。
1.分界与边界垂直。
2.内部相交的分界相互成120度角。
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那么如果反过来：
各分界的总长度L已经确定，求各个分图形的面积的最小方差值。  其中L小于【均分田地，田埂最短问题】的最短边界总长度。
是不是也有上面的应遵循的规则呢？

mathe

对于gxqcn的问题，如果最短田埂长度为$L_0$,那么对于这个问题
如果$L<=L_0$,那么遵循那个题目同样的规律
i)分界线为圆弧
ii)分界线同边界垂直
iii)内部分界互成120度
iv)内部分界处有向曲率和为零
但是如果$L>L_0$,显然可以达到方差为零（就是所有分图形面积相等），而划分方法无穷种，而且不需要遵循上面的规则

gxqcn

记得 mathe 曾提出定比例分割问题，说是也需满足上述条件。 楼主从反向提出这个问题，也非常有意思。

gxqcn

2# mathe

我昨天突然想到如下问题，似乎不全满足这四个条件：
　　两个半径分别为3和4的圆相交，圆心距为5，现在其内部需修建一条长为4.8的田埂（4.8正好是相交弦的长度），使之分成两部分，且使两侧面积尽可能均等，请问如何划分？

mathe

你这个不是凸区域。对于凹区域，边界垂直条件将不存在（如果落在那些拐点上）。我觉得对于你这个问题，相交弦应该已经是最好的解。

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各分界的总长度L已经确定，求各个分图形的面积的最小方差值，实际上跟求各个分图形面积的平方和的最小值的过程是一样的。
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假设各个分图形的面积分别为$S_1$,$S_2$,...,$S_n$
若分界的总长度等于L，求$sum_(i=1)^n(S_i)^R$的最小值。R为大于1的实数。
R=2时，mathe指出分界遵循4原则：
i)分界线为圆弧
ii)分界线同边界垂直
iii)内部分界互成120度
iv)内部分界处有向曲率和为零
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那么R等于3，或等于其他数时，是否还有上述规则呢？
如果不是，那么R=2为什么这么特殊呢？

mathe

对于任意R>1均可，主要用到3楼gxqcn提到的性质即可。
同样，对于R<1,也有类似性质取到最大值。（R=0可以改为几何平均）