三角几何难

raa · 发表于 2011-4-10 20:28:36

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Rt△ABC∠A等于90度，AD⊥BC，E，F，G分别为三边上任意点，求证，△EFG周长大于2AD。 7T)0}NPQ[~$S3%Q99F)0(]U.jpg

wayne · 发表于 2011-4-15 01:09:13

△EFG周长 > 2AE > 2AD

wayne · 发表于 2011-4-15 01:12:44

这好像是一个定理的特例

raa · 发表于 2011-4-15 03:11:32

与BC和AC轴画对称的图形就出来了，呵呵，自已的问题自己解决。

hujunhua · 发表于 2011-4-16 00:29:11

这好像是一个定理的特例 wayne 发表于 2011-4-15 01:12

记得好象叫做许尔瓦兹垂足三角形定理，说的是锐角三角形的诸内接三角形中，以垂足三角形的周长最小。因为只有垂足三角形恰好是封闭的光路三角形。许尔瓦兹的证明堪称绝妙，他把三角形ABC连续反射了5次（而不是楼上所说的2次），将垂足三角形的周长展成了直线段，而一般内接三角形则是折线段。从许尔瓦兹的证明图不能证明2#的“△EFG周长 > 2AE”，但是看起来似乎能成立。画了一下，果然。想知道wayne是怎么看出来的，因为不是那么显然。

raa · 发表于 2011-4-16 01:20:00

沿AC对映一次就够了，很明显GE+G'E>2AE K6O$ZG82CN0F@ZQK%}[HKB6.jpg

wayne · 发表于 2011-4-16 20:23:45

5# hujunhua

因为只有垂足三角形恰好是封闭的光路三角形。

这个很强悍。 ================= 我印象里好像在三角形里，有一个不等式，三个长度相加，不小于另一个三个长度相加的2倍的这种不等式。好像是两个人名组合起来的，惭愧，到现在还没搜出来，

。只搜到了不相干的证明方法： http://2666666.blog.163.com/blog/static/66796364200942555134500/ 4274760471305647863.jpg.gif

数学星空 · 发表于 2011-4-16 22:21:11

楼上应该说的是: Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式　　设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则　　x+y+z≥2*(p+q+r)

wayne · 发表于 2011-4-16 22:24:34

8# 数学星空 额------------ 好像就是这个，貌似跟本题扯不上关系，

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