组合计数——数三角形

hujunhua

百度知道中的一个提问，解答五花八门。 如图，三角形网格中大大小小的正三角形共有多少个？

qianyb

是411个,刚才没考虑有些倒三角不成立的情况

wayne

2# qianyb 好像411个， $"Floor"((n(n+2)(2n+1))/8)$ http://oeis.org/A002717

xbtianlang

这道题好像小学生也可以做，它的题点就是按三角形的大小以及正三角和倒三角分别计数。 正三角与奇偶无关，总数为$C_(n+2)^3$。 倒三角，n=2k+1，总数为$2C_(k+2)^3+2C_(k+1)^3+C_(k+1)^2$ n=2k，总数为$2C_(k+2)^3+2C_(k+1)^3-C_(k+1)^2$

xbtianlang

综合 当n=2k+1时 $f(n)=((n+2)(n+1)n)/6+(2(k+2)(k+1)k)/6+(2(k+1)k(k-1))/6+((k+1)k)/2$ $=((2k+3)(2k+2)(2k+1))/6+(2(2k+1)(k+1)k)/6+((k+1)k)/2$ $=(2k+1)(k+1)^2+((k+1)k)/2=(2n(n+1)^2+(n-1)(n+1))/8$ $=((2n^3+5n^2+2n-1))/8=(n(n+2)(2n+1)-1)/8$ 当n=2k时 $f(n)=((n+2)(n+1)n)/6+(2(k+2)(k+1)k)/6+(2(k+1)k(k-1))/6-((k+1)k)/2$ $=(2k(2k+2)(2k+1))/6+(2(2k+1)(k+1)k)/6-((k+1)k)/2$ $=k(2k+1)(k+1)-((k+1)k)/2=(2n(n+1)(n+2)-n(n+2))/8$ $=(n(n+2)(2n+1))/8$ 所以对任意n有 $f(n)=(n(n+2)(2n+1)-(n mod 2))/8="Floor"((n(n+2)(2n+1))/8)$

liexi20101117

好强的分析，顶一个