成都中考几何模拟题压轴题

nyy

成都中考几何模拟题压轴题

hejoseph

$\triangle ACD$ 绕点 $D$ 旋转至 $\triangle A_1C_1D$，其中点 $C_1$ 在 $BD$ 上，过点 $B$ 作 $A_1C_1$ 的平行线，交直线 $A_1D$ 于点 $A_2$，则 $A_2D=4\sqrt{2}$，$A_2B=5\sqrt{2}$，$\angle ADA_2=135^\circ$，$\angle ABA_2=90^\circ$。初中的话补一个直角三角形容易计算得 $A A_2=\sqrt{80}$，然后再用勾股定理就可以求得 $AB=\sqrt{30}$。

nyy

利用余弦定理与反余弦函数列方程组，解决问题。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*线段长度赋值*)
   
6. AD=4;
   
7. AC=5;
   
8. (*利用余弦定理与反余弦函数,列方程组解方程组*)
   
9. ans=Solve[{
   
10.     BD==Sqrt[2]*CD,(*已知条件*)
    
11.     cs[AB,AC,BC]==Cos[45deg],(*△ABC,∠BAC=135-90=45°,用余弦定理*)
    
12.     cs[BD,CD,BC]==Cos[135deg],(*△DBC余弦定理*)
    
13.     ArcCos@cs[AD,BD,AB]+ArcCos@cs[AD,CD,AC]==(360-135)deg,(*两个角相加等于(360-135)°*)
    
14.     AB>=0&&BC>=0&&BD>=0&&CD>=0 (*限制范围变量*)
    
15. },{AB,BC,BD,CD}]//FullSimplify;
    
16. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
17. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

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求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to \sqrt{30} & \text{BC}\to \sqrt{55-10 \sqrt{15}} & \text{BD}\to \sqrt{22-4 \sqrt{15}} & \text{CD}\to \sqrt{11-2 \sqrt{15}} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to 5.47723 & \text{BC}\to 4.03363 & \text{BD}\to 2.55109 & \text{CD}\to 1.80389 \\
\end{array}\]

看第13行的代码，就应该知道为什么我不用
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 0062&pid=104943
的第04行代码

1. cs[a_,b_,c_,x_]:=(a^2+b^2-c^2-2 a b Cos[x]==0)

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我用我的办法定义，前面再套一个反余弦函数，就能表达成角了，而这里的定义是不行的。

也可以利用四面体体积等于零来列方程组。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. (*线段长度赋值*)
   
8. AD=4;
   
9. AC=5;
   
10. (*利用余弦定理与四面体体积等于零,列方程组解方程组*)
    
11. ans=Solve[{
    
12.     BD==Sqrt[2]*CD,(*已知条件*)
    
13.     cs[AB,AC,BC]==Cos[45deg],(*△ABC,∠BAC=135-90=45°,用余弦定理*)
    
14.     cs[BD,CD,BC]==Cos[135deg],(*△DBC余弦定理*)
    
15.     fun[AD,BD,CD,BC,AC,AB]==0,(*四面体D-ABC体积等于零*)
    
16.     AB>=0&&BC>=0&&BD>=0&&CD>=0 (*限制范围变量*)
    
17. },{AB,BC,BD,CD}]//FullSimplify
    
18. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
19. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
20. aaa=ArcCos@cs[AD,BD,AB]+ArcCos@cs[AD,CD,AC]/.ans//FullSimplify
    

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求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to 4 \sqrt{5}-5 \sqrt{2} & \text{BC}\to \sqrt{205-60 \sqrt{10}} & \text{BD}\to \sqrt{82-24 \sqrt{10}} & \text{CD}\to \sqrt{41-12 \sqrt{10}} \\
\text{AB}\to \sqrt{30} & \text{BC}\to \sqrt{55-10 \sqrt{15}} & \text{BD}\to \sqrt{22-4 \sqrt{15}} & \text{CD}\to \sqrt{11-2 \sqrt{15}} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to 1.8732 & \text{BC}\to 3.90683 & \text{BD}\to 2.4709 & \text{CD}\to 1.74719 \\
\text{AB}\to 5.47723 & \text{BC}\to 4.03363 & \text{BD}\to 2.55109 & \text{CD}\to 1.80389 \\
\end{array}\]
两种情况，计算两个角相加的情况，得到
\[\left\{\frac{3 \pi }{4},\frac{5 \pi }{4}\right\}\]
从上面的情况可以知道，第一种情况D在△ABC的外面，第一种情况在里面
因此第二种情况才符合题意

nyy

豆包回答了这个问题，但是答案是根号7，
看来我比人工智能聪明一些！