二次多项式x^2-x+41

wsc810

为什么x取1到40时，他总能得到素数，谁能通俗的讲讲

xbtianlang

因为素数在自然数较小的区间比较密集，f(x)=x^2-x+p,x=1,2,3,... 是一个2次间隔多项式，当初值p为3,5,11,17,41，x取比初值小的自然数时，f(x)均为素数。 41仅仅是这些素数中最大一个，信不信有你，我反正是信了。 人们幻想用多项式表示素数，但现在还没发现更好的产生素数多项式。

wsc810

这只是看到表面的现象，更深层次的原因是和虚二次域的类数为1的数有关，关于这方面的内容可以看潘氏兄弟所著的《代数数论》，只不过太深奥，我看不懂，陆洪文也得到一个关于实二次域类数为1的二次多项式的可以得到素数的公式，这些都很复杂。

郭先抢

看到了也没必要觉得太神奇，我早就知道了

hujunhua

记得以前做过《数论导引》上的一道习题,貌似：若$x<=sqrt{p/3}$时$x^2-x+p$皆为素数，则对于$x=1~(p-1), x^2-x+p$皆为素数。

zgg___

画了一个0-p中为素数的占比图，是否当p足够大时，在(0.5,1)的区间内就没有点了呢？

1. s = {}; Do[p = Prime[i];
2. AppendTo[s, (Count[Table[PrimeQ[x^2 - x + p], {x, p - 1}], True] +
3. 1)/p];, {i, 10000}]; ListPlot[s, PlotRange -> {0, 1}]

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chyanog

6# zgg___ 还能再快点

1. t = AbsoluteTime[];
2. res = Block[{p}, Table[p = Prime[i];
3. (Count[Table[x^2 - x + p, {x, p - 1}], _?PrimeQ] + 1.)/p,
4. {i, 1000}]];
5. ListPlot[res,PlotRange -> {0, 1}]
6. AbsoluteTime[] - t

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或者

2. t = AbsoluteTime[];
3. cf = Compile[{{max, _Integer}},
4. Table[(Length@Select[Table[x^2 - x + #, {x, # - 1}], PrimeQ] + 1)/# &@
5. Prime[i], {i, max}]];
6. res = cf[1000];
7. ListPlot[res, PlotRange -> {0, 1}]
8. AbsoluteTime[] - t

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