一个关于方阵的问题

zgg___

想求一个给定大小的方阵，使它的特征值恰好是某个给定的值。 要求方阵中的数值都是整数，并且绝对值的最大值最小或者尽量的小。 比如说： 求一个5乘5的方阵满足： 1、它的特征值是252097800623； 2、方阵中的25个数都是整数，而且它们中绝对值的最大值尽可能的小。 我现在一点思路也没有，请大家试一试。 上面那个大数是第十亿质数，所以我也不知道问题的结果是什么呢。

mathe

构造一个用于指定数字的特征值的方阵不难，但是要保证最小太难了。但是可以不太特别。 我们可以构造一个5*5的方阵A 使得每一行元素之和都是252097800623 那么方阵A乘上向量 $[(1),(1),(...),(1)]$ 以后的值就是这个向量的252097800623倍。 所以我们知道252097800623是这个矩阵关于特征向量 $[(1),(1),(...),(1)]$ 的特征值。 当然，改变一些特征向量的取法我们还可以构造出一些用其它方法的满足条件的方阵。 但是要绝对值达到最小很难。

shshsh_0510

让特征值一定简单，随便一个上三角阵就ok了，但一沾极值通常就很难了。相似变换虽可以保持特征值，但非相似的也可能有同样的特征值。像mathe那样平均一下感觉会是出路，但证明不一定简单。我记得两个矩阵相加，对特征值的扰动有一定规律，你去查查，不知会不会有帮助，就是说希望证明出mathe那样的做法就是最好的了。

zgg___

谢谢mathe和shshsh_0510提供的思路。 题目中有一点没有说清楚，题目中提到的“特征值”指的是方阵的行列式的值。 我们知道：可以找到许多的首1整系数方程f(x)，使得方程f(m)=252097800623，其中m和f的系数都控制在252097800623的五次方根量级上。我们可以产生方阵mm，使这个方程f(x)是它的特征多项式，于是mm-mI的特征值（行列式的值）恰好是252097800623，并且其中的数都在252097800623的五次方根量级上。 然而人是更贪婪地，貌似方阵中众多的0还有油水，貌似还有更好的答案吧。

mathe

行列式的值，那么应该用另外的方法，但是252097800623的五次方根量级应该很难突破。 但是我们可以试着直接构造。 首先我们试着构造一个全是1和-1构成的5*5矩阵，使得对应行列展开后的5!项正项尽量多。 比如对于1阶和2阶，我们可以得到所有项都是正项的方法。但是对于3阶，好像不能够构造出所有项都是负的，但是至少可以构造出 只有一项是负的，比如: $[(1,-1,-1),(1,1,-1),(1, -1, 1)]$ 而对于5*5的情况，那么应该更加复杂，我们可以用穷举(不超过2^25种情况)或者部分穷举的方法得到5*5一种比较好的分布，我估计最好正负项的差值应该不小于100. 然后我们可以先选择让所有系数差别很小的情况开始（这样可以估计出来每个数大概为2520978006.23的五次方根量,比前面的稍小）搜索。分别通过将每个数据微调的方法来穷举，应该可以找到满足结果的一些较好的方案。当然这个方法有点盲目。

shshsh_0510

呵呵，mathe考虑问题老是这样快速。 zgg老兄说的有点太不清了 按mathe的法子，虽不种不远矣。 他的法子关键求出det最大的全1或-1的矩阵。这个应该叫Hadamard矩阵，有很多书讲构造这个的。