尺规作图（顶角及中线）

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１．已知一个三角形的顶角为$alpha $，且顶角两边的中线长为$x,y,$　　 　　请用尺规作图作出此三角形？

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设此三角形三边长分别为$a,b,c$ 我们可以根据余弦公式列出方程： $c^2+4*b^2-4*b*c*cos(alpha)=4*x^2$ ........(1) $b^2+4*c^2-4*b*c*cos(alpha)=4*y^2 $ ....... (2) $b^2+c^2-2*b*c*cos(alpha)=a^2 $ ........(3)

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根据方程(1),(2),(3),我们可以消元得到: $(144*cos(alpha)^2-225)*b^4-16*(2*x-y)^2*(2*x+y)^2*b^2+480*x^2+192*cos(alpha)^2*y^2-192*cos(alpha)^2*x^2-120*y^2=0$ $(144*cos(alpha)^2-225)*c^4-16*(x-2*y)^2*(x+2*y)^2*c^2+480*y^2+192*cos(alpha)^2*x^2-120*x^2-192*cos(alpha)^2*y^2=0$ $(144*cos(alpha)^2-225)*a^4-(72*(y^2+x^2))*(4*cos(alpha)^2-5)*a^2+128*cos(alpha)^2*x^4-144*x^4+128*cos(alpha)^2*y^4-144*y^4$$+320*cos(alpha)^2*x^2*y^2-288*x^2*y^2=0$ 由于以上方程均可化为二次方程求解,易知a,b,c均可由尺规作图得到

hujunhua

1、先作出一条中线BD，长为x. 2、以BD为弦，作所含圆周角等于$\alpha$的圆弧BAD，A还没确定，但就在这条圆弧上。 3、顶点C与A关于中点D对称，所以顶点C的轨迹是圆弧BAD关于D的镜像，作出镜像弧。（与BAD合成一个S形） 4、以BD的三等分点E（三角形ABC的重心）为中心，以2y/3长为半径作圆弧，交上述镜像弧于C点。 5、连接并延长CD交弧BAD于点A。 6、连结AB、BC，即得三角形ABC。 讨论：1、当x/y≠1/2或者2时，第4步所作圆弧与镜像弧可能会有唯一交点、没有交点、有不同于点D或者B'的两交点。分别对应于唯一解、无解和双解。 2、当x/y=1/2或者2时，会交于点D或者B'。若只此一个交点，则无解，若有两个交点，则有一解。

hujunhua

顶点C的轨迹是圆弧BAD关于D的镜像. 晕头了，说什么“关于点的镜像”，应该是关于点D的反演像。

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讨论：1、当x/y≠1/2或者2时，第4步所作圆弧与镜像弧可能会有唯一交点、没有交点、有不同于点D或者B'的两交点。 　　　　　　　　　　分别对应于唯一解、无解和双解。 　　2、当x/y=1/2或者2时，会交于点D或者B'。若只此一个交点，则无解，若有两个交点，则有一解 不知是如何得到的？？　 不过通知观察3＃的方程可以看到有(2*x-y) (b^2项系数）及(x-2*y)(c^2项系数)出现．