求各种“小三”的大小关系

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一个正三角形RST的边长为a，中心为O， A点在以R为圆心，x为半径的圆上，B点在以S为圆心，y为半径的圆上，C点在以T为圆心，z为半径的圆上，称这样的三角形ABC为“小三”。 那么其中： 具有最小面积的“小三”的称为“小小三”； 具有最大面积的“小三”的称为“大小三”，当a趋向于0时的“大小三”就是贴子“三角形中的最值问题”中所求的最大面积三角形； 具有最短周长的“小三”的称为“短小三”； 具有最长周长的“小三”的称为“长小三”； 以O为内心的“小三”称为“内小三”； 以O为外心的“小三”称为“外小三”； 以O为垂心的“小三”称为“垂小三”； 以O为重心的“小三”称为“重小三”； 以O为旁心的“小三”称为“旁小三”。 ----------------------------------- 求各种“小三”的面积和周长的大小关系。

hujunhua

这个正三角形并没有多少意义，还不如更一般化一点：ΔABC的三个顶点分别在3个圆上滑动..... 再进一步：△ABC的3个顶点分别在3条约束曲线上滑动...... 但是一般化后，就没有特殊情况下的特别结论了。 这类问题，重要的不是求出最值，而确定取最值的条件。对于周长最长和最短的三角形，这个问题早有定论，那就是光线三角形（费玛的光程最大和最小原理）。