四道题3求解

iseemu2009

四道题3求解

Gongwen0519

第三题：
\[\text{BN}_{\max}=3\sqrt {2}+3/2\]

Gongwen0519

终于可以上传插图了
一般情况：

本题情况：

Gongwen0519

第四题，详细的证明不太会弄，请论坛大侠帮代。以下作图基本上只算结论：

wayne

第一题,存在,举一个例子即可.
不失一般性,设正三角形的中心为原点, 设三个顶点与原点的连线的倾斜角依次为$\alpha, \alpha+\frac{2}{3}\pi, \alpha+\frac{4}{3}\pi$,正三角形的边长为r,那么,随便搜一下, 发现$r=15 + \frac{1}{3}, \alpha=\frac{3 \pi }{50}$如左图.$\alpha=\frac{8 \pi }{75}$如右图

wayne

第二题:  整数部分就是$4^m-(\sqrt{2}+2)^m-(2-\sqrt{2})^m$ , 进而反推出生成函数是$GF(x) = \frac{4 x (2 x-1)}{(4 x-1) (2 x^2-4 x+1)}$ .可见都被4整除.
然后取其不被3整除的奇数项部分,得到生成函数是$GF_1(x) = \frac{112 x (4096 x^4+33936 x^3-2488 x^2-98 x-5)}{(64 x-1) (64 x+1) (8 x^2-40 x+1) (8 x^2+40 x+1)}$, 可见都被112整除.得证.

我们可以继续玩下去,
取其6m+1的项,得到生成函数是$\frac{1568 x (2424 x-7)}{(4096 x-1) (64 x^2-1584 x+1)}$,可见都被1568整除
取其6m-1的项,得到生成函数是$\frac{112 (4096 x^2-2488 x-5)}{(4096 x-1)(64 x^2-1584 x+1)}$,可见都被112整除