给编程大王出的难题无限有理螺旋的质数封印

数论爱好者

问题描述：
将全体正有理数以如下螺旋方式排列成一个二维矩阵（示意图我画不出来）：

起点为(0,0)=1/1

向右移动一步，(0,1)=1/2

逆时针转向下移动一步，(1,1)=2/1

继续逆时针转，向左移动两步：(1,0)=3/1, (1,-1)=4/1

接着向上移动两步，然后向右移动三步，依此类推...

螺旋规则：

第k次移动方向遵循：右→下→左→上→右→...（逆时针）

第k次移动步数为⌈k/2⌉（即1,1,2,2,3,3,...）

每次移动时，分子分母之和增加1，并按螺旋方向填充新数

示例螺旋片段：

(0,0):1/1 → (0,1):1/2  
          ↓  
(1,1):2/1 ← (1,0):3/1  
问题：
对于任意给定的大质数p（如p>10^18），设计一个O(1)或O(log p)时间复杂度的算法，回答：

该质数p首次出现的位置坐标（即满足p=a/b的最早螺旋步数对应的(i,j)）

该质数p在螺旋中出现的总次数的精确公式

附加约束：
禁止暴力搜索或预生成螺旋表

需给出数学证明和算法复杂度分析

数论爱好者

难点解析：
螺旋坐标的数学映射：需要发现有理数排列与螺旋路径的隐式数学关系

质数位置特性：质数首次出现必定以p/1或1/p形式出现，但需确定具体方向

高效算法设计：要求远优于O(p)的复杂度，可能涉及：

二次型与佩尔方程

连分数分解

莫比乌斯反演（计算出现次数）

这道题融合了数论、组合数学和算法优化，如果真有"编程大王"能给出完整解答，那确实名不虚传！

数论爱好者

验证了1997和65537,对于这样的题不太懂.如果1997算对了,我猜65537算错了.
对于 1997：

首次出现位置：

1997/1，坐标大约在 (22,39)（具体可能需更精确计算）。

出现次数：

如果是 既约分数，则 2 次（1997/1,1/1997)。


另一个p=65537：

首次出现位置：

坐标 (0,65537)（假设螺旋向右扩展）。

或者 (65537,0)（取决于螺旋方向定义）。

出现次数：

如果是既约分数，则 2 次（p/1和1/p)。
如果允许非既约分数，则 无限次。

因为1997的k在22层,而65537的k在128层,但128这个数据成了摆设,没有用上,我怀疑是算错了.

aimisiyou

坐标描述的不知所以……

数论爱好者

aimisiyou 发表于 2025-4-25 21:49
坐标描述的不知所以……

题目可能有错,限于水平无法纠正

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-4-25 22:09
题目可能有错,限于水平无法纠正

前面出的题目可能前后矛盾,无法操作,换一个简单一点的乌拉姆螺旋研究看看,坐标系还没有想出好的办法建立,各位帮忙建立一下.
根据题设的螺旋规则，每圈数量为：

第1圈：1个（第1个数1）

第2圈：8个（第2-9个数）

第3圈：16个（第10-25个数）

第4圈：24个（第26-49个数）

第5圈：32个（第50-81个数）

第6圈：40个（第82-121个数）

后续规律：每圈增加8个数，即第
n圈包含8(n−1) 个数。

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-4-26 07:01
前面出的题目可能前后矛盾,无法操作,换一个简单一点的乌拉姆螺旋研究看看,坐标系还没有想出好的办法建立, ...

1999的坐标(22,-5),处于第三象限.我说它在23圈,机器人说在22圈.老是别扭.


竖中心轴(参考资料把它变成横轴):https://oeis.org/A033951,1, 8, 23, 46, 77, 116, 163, 218, 281, 352,
竖中心轴(参考资料把它变成横轴):https://oeis.org/A054556,1, 4, 15, 34, 61, 96, 139
平中心轴:https://oeis.org/A054552,1, 2, 11, 28, 53, 86, 127,
平中心轴:https://oeis.org/A054567,1, 6, 19, 40, 69, 106, 151
对角线(正方形的四个顶点):https://oeis.org/A069894,2, 10, 26, 50, 82, 122, 170
对角线:https://oeis.org/A053755,1, 5, 17, 37, 65, 101, 145
对角线:https://oeis.org/A054569,1, 7, 21, 43, 73, 111
对角线:https://oeis.org/A054554,1, 3, 13, 31, 57, 91


在此螺旋图中,是不是每个确定的大数都有一个公式可以生成.

aimisiyou

数论爱好者 发表于 2025-4-26 07:01
前面出的题目可能前后矛盾,无法操作,换一个简单一点的乌拉姆螺旋研究看看,坐标系还没有想出好的办法建立, ...

这个可以通过公式求解坐标与数值的关系。