平方数立方数

数论爱好者

定义一种特殊的三元组(a,b,c)，满足以下条件：

1.a,b,c均为正整数，且a≤b≤c；

2.a^2+b^3是一个完全平方数（即存在整数k使得a^2+b^3=k^2);
3.a×b×c是一个完全立方数（即存在整数m使得a×b×c=m^3)。

问题：
给定一个上限N（例如N=10^18)，求：

1.所有满足条件的三元组(a,b,c)，其中c≤N；

2.满足条件的三元组数量随N增长的渐近表达式（需数学证明）；

3.高效算法（时间复杂度低于Ο(N)），并分析其最优性。

示例：(28,8,98),举例可能不恰当,不严谨,意思意思而已
28^2+8^3=784+512=1296=36^2（满足条件1）
28*8*98=21952=28^3（满足条件2）
若限制a,b,c两两互质，解的数量如何变化？

数论爱好者

3,3,24
3^2+3^3=6^2
3*3*24=6^3
a≤b≤c这个条件取消掉,a,b,c为正整数即可
a,b,c互质的找找看

数论爱好者

                 满足条件的三元组c≤100
   [[1, 2, 4], [1, 2, 32], [3, 3, 3], [3, 3, 24], [3, 3, 81]],解才有这几个,两两互质的一个也没有找到

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-4-26 00:00
满足条件的三元组c≤100
   [[1, 2, 4], [1, 2, 32], [3, 3, 3], [3, 3, 24], [3, 3, 81] ...

1. FindAllTriples := proc(N)
   
2.     local b, factors, divisors, pairs, d1, d2, a, k, m, c, triples;
   
3.     triples := [];
   
4. 
   
5.     # 遍历所有可能的b值（修正范围：b ≤ N，而非N^(1/3)）
   
6.     for b from 1 to N do
   
7.         # 生成b^3的所有因数
   
8.         factors := ifactors(b^3)[2];
   
9.         divisors := generate_divisors(factors);
   
10.         pairs := generate_ordered_pairs(divisors, b^3);  # 传入b^3的值用于验证
    
11.         
    
12.         # 处理每个因数对 (d1, d2)
    
13.         for pair in pairs do
    
14.             d1 := pair[1];
    
15.             d2 := pair[2];
    
16.             # 检查d1和d2的奇偶性相同
    
17.             if type(d1 + d2, even) then
    
18.                 # 计算a和k
    
19.                 a := (d2 - d1) / 2;
    
20.                 k := (d2 + d1) / 2;
    
21.                 # 检查a是否为整数且大于0
    
22.                 if a > 0 and type(a, integer) then
    
23.                     # 计算满足条件2的c值
    
24.                     min_m := ceil((a*b)^(1/3));
    
25.                     for m from min_m do
    
26.                         c := m^3 / (a*b);
    
27.                         if c > N then break end if;
    
28.                         if c::posint then
    
29.                             triples := [op(triples), [a, b, c]];
    
30.                         end if;
    
31.                     end do;
    
32.                 end if;
    
33.             end if;
    
34.         end do;
    
35.     end do;
    
36. 
    
37.     return triples;
    
38. end proc:
    
39. 
    
40. # 辅助函数1：生成所有因数
    
41. generate_divisors := proc(factors)
    
42.     local divisors, p, e, temp, i, j;
    
43.     divisors := [1];
    
44.     for f in factors do
    
45.         p := op(1, f);
    
46.         e := op(2, f);
    
47.         temp := [];
    
48.         for d in divisors do
    
49.             for j from 0 to e do
    
50.                 temp := [op(temp), d * p^j];
    
51.             end do;
    
52.         end do;
    
53.         divisors := temp;
    
54.     end do;
    
55.     return divisors;
    
56. end proc:
    
57. 
    
58. # 辅助函数2：生成有序因数对，并验证d1*d2 = target
    
59. generate_ordered_pairs := proc(divisors, target)
    
60.     local pairs, i, j, d1, d2;
    
61.     pairs := [];
    
62.     for i from 1 to nops(divisors) do
    
63.         for j from i to nops(divisors) do
    
64.             d1 := divisors[i];
    
65.             d2 := divisors[j];
    
66.             if d1 * d2 = target then
    
67.                 pairs := [op(pairs), [d1, d2]];
    
68.             end if;
    
69.         end do;
    
70.     end do;
    
71.     return pairs;
    
72. end proc:
    
73. 
    
74. # 示例验证（N=100）
    
75. result := FindAllTriples(100);
    
76. print("所有符合条件的三元组:");
    
77. print(result);

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运行结果:
[[1, 2, 4], [1, 2, 32], [3, 3, 3], [3, 3, 24], [3, 3, 81], [6, 4, 9], [6, 4, 72], [10, 5, 20], [21, 7, 63], [28, 8, 98], [8, 8, 1], [8, 8, 8], [8, 8, 27], [8, 8, 64], [120, 9, 25], [36, 9, 18], [45, 10, 60], [6, 12, 3], [6, 12, 24], [6, 12, 81], [24, 12, 6], [24, 12, 48], [48, 16, 18], [136, 17, 17], [27, 18, 12], [27, 18, 96], [171, 19, 57], [80, 20, 5], [80, 20, 40], [375, 24, 3], [375, 24, 24], [375, 24, 81], [120, 24, 75], [1089, 27, 33], [81, 27, 9], [81, 27, 72], [63, 28, 42], [378, 28, 7], [378, 28, 56], [15, 30, 60], [64, 32, 2], [64, 32, 16], [64, 32, 54], [88, 33, 99], [405, 36, 50], [162, 36, 1], [162, 36, 8], [162, 36, 27], [162, 36, 64], [960, 36, 50], [288, 36, 36], [270, 40, 20], [60, 40, 90], [360, 40, 15], [270, 45, 60], [48, 48, 6], [48, 48, 48], [192, 48, 12], [192, 48, 96], [125, 50, 20], [1485, 55, 55], [847, 56, 77], [28, 56, 14], [15, 60, 30], [63, 63, 63], [567, 63, 7], [567, 63, 56], [384, 64, 36], [1088, 68, 34], [216, 72, 3], [216, 72, 24], [216, 72, 81], [375, 75, 15], [640, 80, 10], [640, 80, 80], [3240, 81, 75], [972, 81, 2], [972, 81, 16], [972, 81, 54], [14, 84, 63], [3000, 96, 6], [3000, 96, 48], [343, 98, 28], [1875, 100, 18], [750, 100, 45]]

northwolves

可以穷举abc整体互质的解：

1. f[e_]:=Values@Solve[a^2+b^3==n^2&&a b c==m^3&&GCD[a,b,c]==1&&Max[a,b,c]<=e,{a,b,c,n,m},PositiveIntegers];v=f[200];{Length@v,v[[All, ;; 3]]}

复制代码

{13,{{1,2,4},{1,2,32},{1,2,108},{6,4,9},{8,8,1},{8,8,27},{8,8,125},{25,6,180},{120,9,25},{120,9,200},{162,36,1},{162,36,125},{200,24,45}}}