独立随机变量重排序

BeerRabbit

设N个相互独立的随机变量x_i（i=1...N），服从相同的分布，分布函数为F(x)。现在将这N个数从小到大排列，求第k（1<=k<=N）个位置上随机数的分布（分布函数或者密度函数）。

mathe

根据二项式定理，分布函数即为$C_N^kF(x)^k(1-F(x))^{N-k}$

BeerRabbit

根据二项式定理，分布函数即为$C_N^kF(x)^k(1-F(x))^{N-k}$ mathe 发表于 2012-4-12 20:32

首先假设F(x)是定义在[0,1]上的分布函数。 假设mathe得出的这个分布函数为G(x)，那么根据分布函数的定义，当x=1时，G(1)=1； 而显然当x=1，F(x)=1，代入上式，结果应该是G(1)=0。 矛盾……

mathe

分布应该是$\sum_{h=k}^N C_N^h F(x)^h (1-F(x))^{N-h}$

BeerRabbit

分布应该是$\sum_{h=k}^N C_N^h F(x)^h (1-F(x))^{N-h}$ mathe 发表于 2012-4-13 07:58

这似乎要涉及到一个0^0型极限的计算。

mathe

不需要，对于函数f(x),我们通常定义$f(x)^0=1$，这样才可以更加方便

BeerRabbit

谢谢mathe大牛解惑。实际上这个问题是由下面问题引申出来的： 一只蚂蚁从一根线的起点走到终点，所用时间为一分钟，现在在线上随机放置n只蚂蚁，每只蚂蚁爬行速度相同，初始爬行方向随机，并且只有碰到另一只蚂蚁的时候才会掉头向回走。问这n 只蚂蚁从开始到全部走出线的范围，所用时间的期望是多少。进一步求第k个蚂蚁所用时间的期望。 现在这个问题已经解决了。