变种随机游走问题

Lwins_G

在数轴上有一个初始位置在原点的点，它每次从[-1,1]中等概率地取一个实数作为移动的步长。当它移动到原点左侧则立即死亡，现求它移动n次后的存活概率$P_n$。
【规律】是$P_n=\frac{\Gamma (2n)}{4^n \Gamma(n)^2}$

Lwins_G

更正： $P_n=\frac{\Gamma (2n+1)}{4^n \Gamma(n+1)^2}$

wayne

2# Lwins_G 嗯，是正确的。 我用Mathematica验证了一下n=4的情况：

1. Probability[
2. x > 0 \[And] x + y > 0 \[And] x + y + z > 0 \[And]
3. x + y + z + t > 0, {x \[Distributed] UniformDistribution[{-1, 1}],
4. y \[Distributed] UniformDistribution[{-1, 1}],
5. z \[Distributed] UniformDistribution[{-1, 1}],
6. t \[Distributed] UniformDistribution[{-1, 1}]}]

复制代码

BeerRabbit

随机步长行走问题，这个以前讨论过吧。 n个独立同布均匀随机变量之和的分布函数。 sorry，上面说法不对，没有考虑到1到n需要一直存活

Lwins_G

在MathOverflow里，一位ID为Johan Wästlund的网友巧妙地解答了这个问题。点击我跳转

kastin

Lwins_G 发表于 2012-4-17 11:06
在MathOverflow里，一位ID为Johan Wästlund的网友巧妙地解答了这个问题。点击我跳转

为何$P_0P_n + P_1P_{n-1}+\cdots + P_nP_0 = 1.$呢？

随机变量可以取连续值的问题，一般都是用积分来做的。题目相当于求
$P(X1>0, X_1+X2>0,cdots,X_1+X_2+\cdots+X_n>0)$，其中$X_i$为服从[-1,1]上均匀分布的随机变量。
这其实就是一个n维的体积积分了。