不定方程6x+15y+21z+9t=30的整数解解法应如何解?

xxxxxxx

不定方程6x+15y+21z+9t=30的整数解解法应如何解? 我做的解法有什么错误? 6x+15y+21z+9t=30 约简成 2x+5y+7z+3t=10 设 2x+5y=v v+7z=r r+3t=10 5-2x2,故x= -2,y=1是2x+5y=1的其中一组解,x= -2v,y=v是2x+5y=v的其中一组解 x= -2v+5k y=v-2k v= -6r,z=r是v+7z=r的其中一组解 v= -6r+7q z=r-q r= -20,t=10是r+3t=10的其中一组解 r= -20+3e t=10-e 把r= -20+3e代入v= -6r+7q,z=r-q v= 120-18e+7q,z= -20+3e-q 把v= 120-18e+7q代入x= -2v+5k,y=v-2k x= -240+36e-14q+5k,y=120-18e+7q-2k x= -240+36e-14q+5k y=120-18e+7q-2k z= -20+3e-q t=10-e e,q,k可以是任意整数 但是书中的解法较不同 2x+5y=v v+7z=r r+3t=10 x=3v+5k y= -v-2k v=-6r+7q z=r-q r=1+3e t=3-e 把r=1+3e代入v= -6r+7q,z=r-q v= -6-18e+7q z=1+3e-q 把v= -6-18e+7q代入x=3v+5k,y= -v-2k x=-18-54e+21q+5k y=6+18e-7q-2k x=-18-54e+21q+5k y=6+18e-7q-2k z=1+3e-q t=3-e e,q,k可以是任意整数 到底在何处出错,请指出来 2012-06-23 10:17:57 补充 两边同除以3得：2x+5y+7z+3w=10 w=(10-2x-5y-7z)/3=3-x-2y-2z+(1+x+y-z)/3 则有：1+x+y-z=3t 所以整数解为：（其中a,b,t为任意整数） x=a y=b z=1+a+b-3t w=(10-2a-5b-7-7a-7b+21t)/3=1-3a-4b+7t 若求非负数解，则有：a>=0.b>=0, ,(3a+4b-1)/7=<=(1+a+b)/3 共有5组解： a=0, b=0, t=0, z=1, w=1 a=0,b=2, t=1, z=0, w=0 a=2,b=0, t=1, z=0, w=2 a=1,b=1, t=1, z=0 可否解释上述的做法是如何做?请详尽 但是貌似下面两个写法较精简,如何解才是最好?

hujunhua

你的解也没有错。方程的解本来就可以写成多种形式，但实际上是等价的。这是由这个不定方程的解的结构决定的。 不定方程 2x+5y+7z+3w=10 的解记为X=(x,y,z,w), 它的通解可以写成 $ X=X_0+hat X$ 其中$X_0$是对应的齐次方程2x+5y+7z+3w=0的通解，$hat X$是原方程的随便一个特解。 齐次方程2x+5y+7z+3w=0的通解怎么求呢？随便找它的3个不相关的特解，$X_1,X_2,X_3$, 那么$X_0=aX_1+bX_2+cX_3$ 比如，可以取$X_1=(5,-2,0,0),X_2=(3,0,0,-2),X_3=(7,0,-2,0), hat X=(0,2,0,0)$,得原方程的通解 $X=a(5,-2,0,0)+b(3,0,0,-2)+c(7,0,-2,0)+(0,2,0,0)$

hujunhua

既然这些特解都是随便的，那么方程的解的形式当然也就不唯一啦。

wayne

1# xxxxxxx 楼主有空看看 线性代数 的内容

tangram

1# xxxxxxx 你的答案就是对的，取的特解不一样，表达式就不一样。只要代入原方程组验证通过就可以。