如下的带约束多重累加和是否能用组合数表示？

dianyancao

$\sum_{i_1=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{0}i_j}\;\sum_{i_2=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{1}i_j}\;\sum_{i_3=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{2}i_j}\bullet\bullet\bullet\sum_{i_n=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{n-1}i_j}1=C_{k-1}}^{n}=\frac{(k-1)!}{n!*(k-1-n)!}$ 上述的简化是正确的吗？

dianyancao

dianyancao

1. s = Sum[n!/i!/(n - i)!*(k - 1)!/(i - 1)!/(k - i)!, {i, 1, k}]
2. ss = (k - 1 + n)!/k!/(n - 1)!
3. Factor[s]
4. Factor[ss]
5. n = 100
6. k = 33
7. Print[ss]
8. Print[s]
10. (-1 + k + n)!/((1 + n) k! (-2 + n)!) + (
11. 2 (-1 + k + n)!)/((1 + n) k! (-1 + n)!)
13. (-1 + k + n)!/(k! (-1 + n)!)
15. ((2 (-2 + n)! + (-1 + n)!) (-1 + k + n)!)/((1 +
16. n) k! (-2 + n)! (-1 + n)!)
18. (-1 + k + n)!/(k! (-1 + n)!)
20. 100
22. 33
24. 13799045330820153260842076806000
26. 13799045330820153260842076806000
28. (2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)! /(1 + n)
30. 1

复制代码

ss求的是： Mathematica 不能化简最后一个表达式，其实(2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)! /(1 + n)恒等于1 第一个s手工需要怎么推导呢？

zgg___

FullSimplify[(2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)!/(1 + n)]

dianyancao

好吧，虽然我推导不出来， 但左右两边都是算n个元素里取k个元素，元素允许重复，有多少种组合，所以是相等的 所以直接记住这个结果了，看以后的知识能否推导，啊… Sum[n!/i!/(n - i)!*(k - 1)!/(i - 1)!/(k - i)!, {i, 1, k}]==(k - 1 + n)!/k!/(n - 1)!

dianyancao

gxqcn

也许可以编个故事，用不同的角度去看同一个排列组合问题，从而证明它恒等。

dianyancao

下面是思路，不知是否正确？ 箭头的上部分依赖于下部分推导，已得出对于k的一个值，只要令n=k，若满足上述条件 则任意n和该k值，都能使得上式成立，但k是变量，所以接下来必须证明对于任意k，n=k时上述条件成立即可。