n维椎体的体积是？？？

kastin

应该是1/n!

xbtianlang

n维椎体的体积是:底面积×高÷n。

cn8888

@kastin 圆锥的体积是圆柱的体积的1/3

葡萄糖

kastin 发表于 2014-9-19 15:25
应该是1/n!

在\(n\)维空间中的顶点为\((v_0, ..., v_n)\)的\(n-\)单纯形的定向体积是
\( {1\over n!}\det\)
\begin{pmatrix}
  v_1-v_0 & v_2-v_0& \dots & v_{n-1}-v_0 & v_n-v_0
\end{pmatrix}
其中\(n × n\)行列式的每列是代表两个顶点的向量之差。去掉\(\color{red}{1/n!}\)的公式是\(n\)-平行多面体的体积。理解\(1/n!\)因子的一个方法如下:在单位\(n\)维盒子的取任意一点，将其坐标分量和\(0\)一起排序，然后将相邻数取差值，得到的数组构成原点和与其最近的\(n\)个顶点构成的\(n-\)单纯形中的一点的坐标；取差值的变换是一个保体积的变换，而排序则将点的个数减少到\(1/n!\)。
标准n-单纯形下的体积（也即，\(R^{n+1}\)中的原点和单纯形之间的体积）是
\({1 \over (n+1)!}\)
单位边长的正n-单纯形的体积是
\({\frac{\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}}\)
这个结果可以导出如下：将上一个公式乘以\(x^{n+1}\)，得到作为顶点离原点距离(所有顶点和原点等距)的函数的\(n-\)单纯形下的体积；对\(x\)微分，取导数在\(x=1/\sqrt{2}\)的值(因为这个位置\(n-\)单纯形边长为\(1\))，这个导数需要除以\(\sqrt{n+1}\)，因为增量\((dx,\dots, dx)\)(垂直于\(n-\)单纯形的法向)的长度为\(\sqrt{n+1}\)。
http://zh.wikipedia.org/wiki/单纯形