求证明关于组合数和二项式定理或泰勒公式的一个恒等式

dianyancao

广义组合数

本人只有初中的文化正在学习极限，在求幂函数的导数时要用泰勒展开 图片中的组合数恒等式能转换成二项式或泰勒级数的形式，有初等的方法证明该恒等式吗？ 或者如下的例7，如何得到x->0时，t->0和x是等价无穷小？

dianyancao

求助啊！！！！ 救命啊！！！！！！ ！！自己一个学数学真累！！！！！！

kastin

形如 `\sum_{i=0}^nf(i)f(n-i)` 这种卷积形式，立马想到母函数的乘积。
因为 `\D\sqrt{1+x}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{1/2}^ix^i`，而\[\left(\sum_{i=0}^{\infty}C_{1/2}^ix^i\right)^2=\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=1+x\tag{1}\]其中\[a_n=\sum_{i=0}^n C_{1/2}^iC_{1/2}^{n-i}\]显然由 `(1)` 知 `a_n=0\;(n\geqslant 2)`.