圆锥曲线的有理参数解

wayne

已知圆锥曲线$aX^2+b XY+c Z^2=1$, 如何求得有理参数解的表达式，使得参数表达式里的系数的绝对值尽可能最小。
为了方便讨论,我举个例子
考虑两个圆锥曲线的方程, 一个是 $y^2(2 m^2+n^2)=x^2 (-6 m^2+8 m n-3 n^2)-2 x (2 m^2-n^2)-2 m n$, 一个是$t^2 (2 m^2+n^2)=4 x^2 (2 m^2-n^2)-2 m^2+8 m n x+n^2$
1) $m=-8, n=5$的时候,就是两个方程$153 y^2=-779 x^2-206 x+80,153 t^2=412 x^2-320 x-103$, 求各自的有理参数解.  假如 两个方程的x是同一个变量, 联立起来的一般有理解又是如何? 注解, 有答案可以验证.
2) $m=12, n=5$的时候,就是两个方程$313 y^2=-459 x^2-526 x-120,313 t^2=1052 x^2+480 x-263$, 求各自的有理参数解.  假如 两个方程的x是同一个变量, 联立起来的一般有理解又是如何?? 注解, 联立方程的解目前没有答案.

northwolves

不妨设
$p x+q y=r, a/p x+ c/q y=1/r, p c/q + a  q/p == b$
解得：
$x=\frac{p \left(c r^2-q^2\right)}{r \left(c p^2-a q^2\right)} ,y=-\frac{q \left(a r^2-p^2\right)}{r \left(c p^2-a q^2\right)}$
其中
$q=\frac{p(b\pm\sqrt{b^2-4 a c })}{2 a}$

northwolves

令$p=r=1$
$q=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4 a c }}{2 a}$
此时
$b=a q+\frac{c}{q}$
$x=\frac{c-q^2}{2 c-b q}, y=\frac{q(1-a)}{2c-b q}$

nyy

这个问题涉及到pell方程，并不简单

mathe

二个曲面同一个是不同的。
最近你这是跟椭圆曲线犟上了。
通常两二次曲面的交线相当于椭圆曲线

wayne

刚提出问题不久，就在深入eclib文档的过程中无意间解决了疑惑。
eclib 有个工具叫做solve_legendre,可以返回 关于圆锥曲线 $ax^2 + by^2 + cz^2=0 $的有理参数解。
还有个工具，叫作solve_conic,可以返回$ax^2+bxz+cz^2=dy^2$的有理参数解。https://github.com/JohnCremona/eclib/blob/master/doc/progs.txt