椭圆两焦点×椭圆上两点的四条直线共圆

hujunhua

出处暂时省略。
四直线共圆是线素曲线的说法，即有一个公切圆，圆心为椭圆上两点处切线的交点。

逆命题简明。即先有圆，易得BF₁+BF₂=CF₁+CF₂

hujunhua

yigo

以\(F_1\)为圆心，椭圆长轴\(2a\)为半径作圆，
延长\(F_1B\)交该圆于\(B_1\)，延长\(F_1C\)交该圆于\(C_1\)，
设过\(B\)点的椭圆的切线与过\(C\)点的椭圆的切线交于点\(O\)，
由椭圆的切线性质，易知\(OB_1=OF_2\)，\(OC_1=OF_2\)，即\(OB_1=OC_1\)，
所以\(△OF_1B_1≌△OF_1C_1\)，
所以\(O\)到\(F_1B\)的距离等于\(O\)到\(F_1C\)的距离，得证。图就不作了。

hujunhua

双曲线的这种情形是最简单的：按双曲线的定义可知四边形F₁BF₂C两对对边之和相等，这正是凸四边形有内切圆的几何判据。

mathe

抛物线场景，另外一个焦点看成对称轴的无穷远点

mathe

根据 https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2117&extra=&page=4&mobile=2
31＃，存在一个射影变换，将圆锥曲线变换为圆，一个焦点变换为圆心，并且保持所有过焦点的直线的方向不变。由此可以容易得出上图中FO是角BFC的平分线，于是容易得出结论。类似椭圆和双曲线可以统一方式处理