方程8x^3-6x-1=0的根是神秘的根。

qqbbssm

2024年1月 ，由哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室出版了王方汉编著的《数苑漫步》

其中有关于三等分角的讨论：

p 54 页

（2）三等分任意角问题。

不妨设已知角 3θ= 60°， 由三倍角公式， 有

cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)=1/2

令 cosθ= x 就有 8x^3-6x-1=0

由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根，这说明不能用尺规三等分此角。对60°角尚不可能，对一般角就更不可能了。

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作为比较。

假如解一个方程：

x^3=8

如果想判断： 方程 x^3=8 其中有一个根是整数，也是偶数 。需要做什么工作？

例如列出像（x=2）这样的根与未知元相关联的表达形式也许是最方便的。因为根2就是整数，也是偶数 。

作者王方汉列出方程 8x^3-6x-1=0后。就直接给出了“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根”这么一说。

“由代数知识知，此方程没有有理数根，也没有只含开平方符号且没有高次开方符号的无理数根”这一说法的合理性理应体现在“根与未知元相关联的表达形式”上。 可是在作者王方汉关于三等分角问题的论述中找不到这些内容。

这是为什么？

让人引起思考的是：作者王方汉关于三等分角问题的论述合理性体现在什么地方？

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附：

《遇见数学之美》  谢永红  北京师范大学出版社

p 141 页

8x^3-6x-1=0。

这个方程没有二次不尽根的解，因此三等分任意角是不可能的。

（ 作者谢永红没有告诉人们：不是“二次不尽根”的解究竟具体“长”什么样子的。）

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《数学证明是怎样的一项数学活动》 肖文强     大连理工大学出版社

P132页——P133页

【方程的一个根可用圆规及直尺构作出来，它必是形如某层根式】

【从三角恒等式cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】

【得( 2cosθ)^3-3( 2cosθ)-2（cos3θ）= 0】

【构作x= 2cosθ 】

【即问：三次方程x^3-3x-2（cos3θ）= 0有没有一个根可用圆规及直尺构作出来？】

【例如取3θ= 60°时，方程是x^3-3x-1= 0 】

【若它（方程x^3-3x-1= 0 ）有一个根可用圆规及直尺构作出来，则它应有一个有理数根。】

【因此，结论是：.........不能用圆规及直尺三等分60°的角。】

（ 作者肖文强认为：方程x^3-3x-1= 0 没有有理数根。所以，不能用圆规及直尺三等分60°的角。但是， 作者肖文强根本没有告诉人们：方程x^3-3x-1= 0的根“具体‘长’什么样子”。这个根如何不体现“必是形如某层根式”的？）

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《几何明珠》 黄家礼  上海教育出版社 第四版

p 330 页

8x^3-6x-1=0。

这个方程没有有理根，也没有可作图的根。特殊情形不可以，一般情形也不可以。这就表明。用尺规作图，三等分任意角不可能。

（ 作者黄家礼没有告诉人们：“不是有理根，也不是可作图的根”的根究竟具体是“长”什么样子的。）

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所以，方程8x^3-6x-1=0的根是神秘的根。

mathe

因为数学离大众太远，说了大部分人还是不明白，不如不说。
判断整系数有理根是很简单的，数学里面有定义，如果有有理根，那么它的分子必然是常数项系数，分母必然是最高项系数，所以其绝对值只能是1，1/2，1/4，1/8，所以最多验算8个值即可得出结论。
由于验算后发现没有有理根，根据数学理论可以知道这个三次多项式没法因子分解，是不可约多项式，根据群论计算，其解无法仅通过有理数的有限次开平方和四则混合运算表示，由此这个根对应数组无法尺规作图得出。

wayne

设$x=sint$,得到 $8 x^3 - 6 x - 1=0$,得到$-1 - 2 Sin[3 t]=0$,所以 $ t= -\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$或者$ t= \frac{7\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$,
也就是说,方程$8 x^3 - 6 x - 1=0$的三个根是, $-\sin(\frac{\pi }{18}),\cos(\frac{\pi }{9}),-\cos(\frac{2 \pi }{9})$

qqbbssm

谢谢mathe和wayne两位管理员的回复。