(2n)!/n!^2=m(m-1)/2只有唯一解

王守恩 · 发表于 2025-8-26 09:55:46

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n,m=正整数, 如何证明方程(2n)!/n!^2=m(m-1)/2只有唯一解:n=2,m=4。

做题人生 · 发表于 2026-1-18 12:20:40

显然有当 $n=3$ 时, $m=5$ 满足给定正整数方程

补充内容 (2026-1-19 10:23):
以上不成立。忘了除以2。

做题人生 · 发表于 2026-1-19 10:31:05

本帖最后由做题人生于 2026-1-19 10:34 编辑

考虑 $\frac{2\cdot2n!^2}{(n!)^2}=m(m-1),$ 因为 $\gcd(m,m-1)=1$, 任何质因子要么完全在 $m$ 中，要么完全在 $m-1$ 中。大概只能用程序搜索看能不能找到反例，这也不是件容易的事。要证明的难度可能不次于解决一个重大数学猜想。

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[提问] (2n)!/n!^2=m(m-1)/2只有唯一解

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