求紧密排列等圆的最大数目

iseemu2009

一道有趣的几何题目，见图片

northwolves

挤一挤感觉能放164-165个，我晚上也算算看

hujunhua

考虑到空隙，满算应该按圆的外切正六边形。
`S_2=2\sqrt3`, 所以粗糙的上限为$(200π)/(2\sqrt3)=181$.
球装问题是一个经典难题。

一个看起来很精致的问题是“一个中心球外最多能围（相切）多少个与之同样大小的球”。1694 年，苏格兰数学家大卫・格雷戈里（David Gregory）与牛顿（Isaac Newton）讨论天体运动问题时，提出了该问题。牛顿认为最多能有 12 个球与中心球相切，而格雷戈里则持不同意见。直到 1953 年，舒特和范德瓦尔登证明了第 13 个球总会与已有的球发生重叠，从而证实了牛顿的观点。

aimisiyou

等圆packing问题吧

王守恩

类似的问题——圆内点 packing 问题。记小圆半径=1。大圆半径=n。在半径为 n 的圆内, 最多能放置多少个点, 使得任意两点距离至少为2。
大圆半径=1：放1个
大圆半径=2：放2个
大圆半径=3：放7个
大圆半径=4：放11个
大圆半径=5：放19个
大圆半径=6：放27个
大圆半径=7：放38个
大圆半径=8：放50个
大圆半径=9：放64个
大圆半径=10：放80个
大圆半径=11：放98个
大圆半径=12：放118个
A023393——Maximal number of circles of radius 1 that can be packed in a circle of radius n.——0, 1, 2, 7, 11, 19, 27, 38, 50, 64, 80, 98, 118——最大是118。

iseemu2009

给大家提出一些想法看是否可行：
    1、椭圆半长轴为 20，半短轴为 10，所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆内部排列最多的圆，那么这些圆只能在椭圆的内部，当然可以与椭圆相切。那么把椭圆向内部均匀偏移距离 1，如图中红色椭圆所示。那么所有圆的圆心必须在红色椭圆内部或椭圆上。如图一所示。
    2、由于要求容纳最多的圆，那么所有的圆一定是紧密排列的，它们必然呈蜂巢形状，图二展示了这些蜂巢状排列各圆的圆心布置。
    3、然后把图二的圆心阵列重叠到图一的红色椭圆中，通过微调圆心阵列，如沿椭圆的中心上下移一点，或左右移一点，或旋转一点，必然存在一个位置此时红色椭圆内的圆心最多，那么这个数字就是问题的解。

aimisiyou

iseemu2009 发表于 2025-9-12 20:32
给大家提出一些想法看是否可行：
    1、椭圆半长轴为 20，半短轴为 10，所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆 ...

想法不对，受边界轮廓限制。

iseemu2009

iseemu2009 发表于 2025-9-12 20:32
给大家提出一些想法看是否可行：
    1、椭圆半长轴为 20，半短轴为 10，所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆 ...

就是因为受椭圆边界限制，所以要微调圆心阵列位置，使红色椭圆内的点最多即可。